1. Junktoren

 Die Tabelle zeigt die fünf wichtigsten Junktoren (logische Verknüpfungen) der Mathematik. Ihre Semantik kann durch sog. Wahrheitstafeln erläutert werden, mit „w“ für „wahr“ und „f“ für „falsch“:

So gilt eine Disjunktion A ∨ B („A oder B“) in der Mathematik als wahr, wenn mindestens eine der beiden Aussagen wahr ist. Und eine Implikation A → B („A impliziert B“) gilt in der Mathematik nur dann als falsch, wenn A wahr und B falsch ist.

 Prinzipiell kann man sich auf die Negation und die Konjunktion beschränken, denn die anderen Junktoren lassen sich mit Hilfe von ¬ und ∧ definieren:

A ∨ B  als  ¬ (¬ A ∧ ¬ B),  A → B  als  ¬ A ∨ B,  A ↔ B  als  (A → B) ∧ (B → A).

Dass A → B äquivalent zu ¬ A ∨ B ist, zeigt den „statischen“ Charakter der Implikation besonders deutlich. A → B drückt keine kausale Beziehung zwischen A und B aus.

 Neben „A impliziert B“ sagen wir auch:

„Aus A folgt B“,  „A ist hinreichend für B“,  „B ist notwendig für A“.

 Mathematische Sätze besagen, dass unter einer bestimmten Voraussetzung A eine Aussage B gilt. Es handelt sich also um Aussagen der Form A → B. Um eine solche Implikation zu beweisen, nimmt man A an und versucht mit Hilfe dieser Annahme und bereits bewiesener Resultate durch logische Argumentation die Aussage B zu beweisen. Eine andere Beweisführung von A → B, bei der man mit ¬ B als Annahme anfängt und ¬ A anstrebt, liefert das Kontrapositionsgesetz (siehe unten).

 Häufig gebraucht werden die Verneinungsregeln für die Junktoren:

 Junktoren können wir mehrfach anwenden und zum Beispiel (A → B) ∧ (B → (C ∨ D)) bilden. Um Klammern zu sparen, vereinbart man von stark nach schwach bindend:

¬,  ∧,  ∨,  →,  ↔  (Bindungsstärke der Junktoren)

So ist etwa A ∨ ¬ B  →  ¬ C ∧ D  die Aussage  (A ∨ (¬ B))  →  ((¬ C) ∧ D).

 Zusammengesetzte Aussagen kann man wieder mit Wahrheitstafeln untersuchen. Wir illustrieren das Verfahren am Beispiel von

A  →  B  ↔  ¬ B  →  ¬ A.  (Kontrapositionsgesetz)

 Tritt in der zuletzt berechneten Spalte nur der Wahrheitswert „w“ auf, so nennt man die betrachtete Aussage eine Tautologie oder allgemeingültig. Das Kontrapositionsgesetz ist also eine Tautologie. Es wird in der Mathematik in indirekten Beweisen verwendet: Anstelle von A → B kann man immer ¬ B → ¬ A zeigen, was einfacher sein kann.