Inhalt

Vorwort

Die Themen des Buches

1. Kapitel Grundlegendes

1.1 Mengen

1.2 Umgang mit Mengen

1.3 Relationen

1.4 Funktionen

1.5 Visualisierung von Funktionen

1.6 Injektive, surjektive und bijektive Funktionen

1.7 Umgang mit Funktionen

1.8 Umkehrfunktionen und Einschränkungen

1.9 Bild und Urbild

1.10 Umgang mit Quantoren

1.11 Die vollständige Induktion

1.12 Das Prinzip vom kleinsten Element

2. Kapitel Die reellen und komplexen Zahlen

2.1 Irrationale Zahlen

2.2 Algebraische und transzendente Zahlen

2.3 Abzählbarkeit und Überabzählbarkeit

2.4 Die Körperaxiome

2.5 Die Anordnungsaxiome

2.6 Supremum und Infimum

2.7 Die Vollständigkeit

2.8 Die Dezimaldarstellung

2.9 Die Intervallschachtelung

2.10 Wurzeln und rationale Exponenten

2.11 Komplexe Zahlen

2.12 Umgang mit komplexen Zahlen

3. Kapitel Folgen und Grenzwerte

3.1 Folgen

3.2 Grenzwerte von Folgen

3.3 Monotone Folgen und Pendelfolgen

3.4 Die Limesregeln

3.5 Cauchy-Folgen

3.6 Teilfolgen

3.7 Häufungspunkte von Folgen

3.8 Der Satz von Bolzano-Weierstraß

3.9 Limes Superior und Inferior

3.10 Offene Epsilon-Umgebungen

3.11 Konvergenz in den komplexen Zahlen

3.12 Die Unendlichkeitssymbole

4. Kapitel Reihen

4.1 Unendliche Reihen

4.2 Folgen versus Reihen

4.3 Die geometrische Reihe

4.4 Dezimaldarstellungen als Reihen

4.5 Die harmonische Reihe

4.6 Das Cauchy-Kriterium für Reihen

4.7 Das Leibniz-Kriterium

4.8 Absolute und bedingte Konvergenz

4.9 Majorantenkriterium und Minorantenkriterium

4.10 Wurzelkriterium und Quotientenkriterium

4.11 Produkte von Reihen

4.12 Die Exponentialreihe

5. Kapitel Stetigkeit

5.1 Die Limesstetigkeit

5.2 Grenzwerte von Funktionen

5.3 Unstetigkeiten

5.4 Die Umgebungsstetigkeit

5.5 Die gleichmäßige Stetigkeit

5.6 Die Lipschitz-Stetigkeit

5.7 Stetige Fortsetzungen

5.8 Der Zwischenwertsatz

5.9 Der Extremwertsatz von Weierstraß

5.10 Die Stetigkeit der Umkehrfunktion

5.11 Punktweise und gleichmäßige Konvergenz

5.12 Potenzreihen

6. Kapitel Elementare Funktionen

6.1 Polynome

6.2 Rationale Funktionen

6.3 Die reelle Exponentialfunktion

6.4 Der natürliche Logarithmus

6.5 Die allgemeine Exponentialfunktion

6.6 Der allgemeine Logarithmus

6.7 Die komplexe Exponentialfunktion

6.8 Bilder der komplexen Exponentialfunktion

6.9 Sinus und Kosinus

6.10 Weitere trigonometrische Funktionen

6.11 Die Arkusfunktionen

6.12 Die Brücke zur Geometrie

7. Kapitel Differentiation

7.1 Geraden und ihre Darstellungen

7.2 Differenzen- und Differentialquotienten

7.3 Lineare Approximationen

7.4 Ableitungsregeln

7.5 Differenzierbarkeit und Stetigkeit

7.6 Höhere Ableitungen

7.7 Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung

7.8 Ableitung und Monotonie

7.9 Lokale Extremwerte

7.10 Konvexität

7.11 Krümmungsverhalten

7.12 Die Taylor-Entwicklung

8. Kapitel Integration

8.1 Partitionen und Treppenfunktionen

8.2 Das Riemann-Integral

8.3 Das Darboux-Integral

8.4 Das Regelintegral

8.5 Eigenschaften des Integrals

8.6 Zum Umfang der integrierbaren Funktionen

8.7 Der Mittelwertsatz der Integralrechnung

8.8 Der Hauptsatz

8.9 Integrationsregeln

8.10 Uneigentliche Integrale

8.11 Der Vertauschungssatz

8.12 Integral und Flächeninhalt

Zum Studium der Mathematik

Anhänge

1.  Junktoren

2.  Quantoren

3.  Axiome für die reellen Zahlen  (2. 4 − 2. 7)

4.  Epsilontik

5.  Grenzwerte von Folgen und unendliche Summen

6.  Reihenentwicklungen

7.  Ableitungen

8.  Integrierbare Funktionen

Literatur

Notationen

Index