Vorwort
Die Analysis gehört zusammen mit der linearen Algebra zu den Grundvorlesungen eines Mathematikstudiums an der Universität. Viele Studenten hören sie im ersten Semester. Bis man aber zur aus der Schule vertrauten Differential- und Integralrechnung kommt, vergehen Wochen, die mit Körperaxiomen, kleinsten oberen Schranken, Grenzwerten, Häufungspunkten und unzähligen kleinen Epsilons und Deltas angefüllt sind. Beweisen soll, wer rechnen geübt hat. Definieren muss, wer bislang mit einigermaßen genauen Beschreibungen zurechtkam. Für viele ist dieser methodische Neubeginn eine Herausforderung.
Dieses Buch möchte ein hilfreicher Begleittext für die Hörer einer Analysis-Vorlesung an der Universität sein (für das Fachstudium und das Lehramt an Gymnasien). Es will das Vorlesungsskript und die ausführliche und systematische Lehrbuchliteratur ergänzen. Im Gegensatz zu diesen Texten enthält es nur wenige Beweise und die Darstellung entspricht eher einem Garten als einem sich ausbreitenden Fluss. Zentrale Gegenstände der elementaren Analysis wurden ausgewählt, um sie möglichst übersichtlich, informativ und einprägsam in zweiseitigen Sektionen vorzustellen und zu diskutieren. Jede Sektion beginnt mit einer Definition oder einem Satz. Es folgen ein Diagramm, Erläuterungen, zahlreiche Beispiele und Gegenbeispiele, manchmal auch weitere Begriffe, Sätze und Diagramme. Eingestreut sind zudem Bemerkungen zur Verwendung des behandelten Gegenstandes und zu möglichen Fehlerquellen, sowie Zusammenfassungen und Tabellen. So werden Hilfestellungen angeboten und der Überblick erleichtert, damit der Wald vor lauter Bäumen nicht aus den Augen gerät. Die mathematische Genauigkeit wird dabei nicht verwässert. Viele der angeführten Beispiele zeigen, wie wichtig die Beachtung der Voraussetzungen mathematischer Sätze ist.
Keineswegs tritt der Autor dafür ein, Systematik und vollständige fachsprachliche Beweise aus den Anfängervorlesungen und den zugehörigen Lehrbüchern zu verbannen − im Gegenteil. Aber die Erfahrung zeigt, dass viele Studienanfänger wichtige Definitionen und Sätze nicht in der Genauigkeit wiedergeben können, die für ein wissenschaftliches mathematisches Arbeiten notwendig ist, und dass sie diese Definitionen und Sätze oft auch nicht mit anschaulichen Vorstellungen und klärenden Beispielen verbinden können, die Verstehen, Einprägen und Anwenden erleichtern. Hier will der vorliegende Text eine helfende Hand reichen. Die Fähigkeit zum eigenständigen Erarbeiten von Anschauungen und Beispielen ist dabei Lernziel.
Verwendung des Buches
(1) | Zu vielen Themen einer im deutschsprachigen Raum üblichen Analysis-Vorlesung wird der Leser passende Sektionen in diesem Buch finden. Eine begleitende, regelmäßig wiederholende, vergleichende und evtl. auch vorgreifende Lektüre bietet sich hier an. |
(2) | Während der Vorlesung kann kontinuierlich überprüft werden, ob man fundamentale Definitionen und Sätze korrekt wiedergeben kann und ob man zugehörige Beispiele kennt. Die Struktur des Buches erleichtert diese Form der Selbstkontrolle und eine entsprechende Anpassung des eigenen Lernverhaltens. |
(3) | Das Buch kann zur systematischen Vorbereitung auf eine schriftliche oder mündliche Prüfung benutzt werden. |
(4) | In späteren Semestern kann das Buch zum Nachschlagen verwendet werden. |
Was das Buch nicht sein will
Das Studium dieses Buches kann dem Leser helfen, seine Hausaufgaben leichter und erfolgreicher zu bearbeiten, und einige der vorgeführten Beispiele wird er vielleicht sogar als Übungsaufgaben wiederfinden. Angestrebt wurde mit dieser „Ersten Hilfe“ aber kein Text, dessen Hauptzweck es ist, sammelnd vorzuführen, wie man lösen kann, was man lösen muss. Ziel ist, ein vertieftes und tragfähiges Verständnis mathematischer Ideen zu vermitteln. Ein solches Verständnis trägt nach Meinung des Autors automatisch dazu bei, den vielfältigen Anforderungen eines Mathematikstudiums − einschließlich Übungen und Klausuren − selbstbewusster, erfolgreicher und freudvoller begegnen zu können.
Zum Inhalt des Buches
Im Anschluss an dieses Vorwort findet der Leser einen Überblick über die Themen der acht Kapitel des Haupttextes. Dem Haupttext folgen allgemeine Bemerkungen zum Mathematikstudium. In den Anhängen stellen wir Regeln über Junktoren und Quantoren zusammen, und es finden sich dort Tabellen zu den Axiomen für die reellen Zahlen, zur Epsilontik, zu Grenzwerten, Summen und Reihenentwicklungen, zu den Ableitungen der elementaren Funktionen und zu den Integralbegriffen. Das Buch endet mit einem Literaturverzeichnis, einem Überblick über Notationen und einem Index.
München, im März 2021
Oliver Deiser