1. Algebraische Grundstrukturen
Für eine Operation ∘ : G2 → G auf einer Menge G betrachten wir die Eigenschaften:
(1) | ∀a, b, c a ∘ (b ∘ c) = (a ∘ b) ∘ c | Assoziativgesetz |
(2) | ∃e ∀x x ∘ e = e ∘ x = x | Existenz eines neutralen Elements |
(3) | ∀a ∃b a ∘ b = b ∘ a = e | Existenz inverser Elemente |
(4) | ∀a, b a ∘ b = b ∘ a | Kommutativgesetz |
Die Quantoren beziehen sich dabei auf Elemente in G. In (3) ist e ein neutrales Element von G wie in (2).
(G, ∘) oder kurz G heißt … | falls gilt: |
Halbgruppe | (1) |
Monoid | (1), (2) |
Gruppe | (1), (2), (3) |
kommutativ oder abelsch | (4) |
Für zwei Operationen +, · : R2 → R auf einer Menge R betrachten wir:
(D) | ∀a, b, c a(b + c) = ab + ac | erstes Distributivgesetz |
∀a, b, c (b + c)a = ba + ca | zweites Distributivgesetz |
Ist (R, +) ein Monoid mit neutralem Element 0, so sei R* = R − { 0 }.
(R, +, ·) oder kurz R heißt … | falls gilt: |
Ring (mit Eins) | (R, +) ist abelsche Gruppe, (R*, ·) ist Monoid, (D) |
Schiefkörper | (R, +) ist abelsche Gruppe, (R*, ·) ist Gruppe, (D) |
Körper | (R, +) ist abelsche Gruppe, (R*, ·) ist abelsche Gruppe, (D) |