11. Blockstrukturen

Seien A  ∈  K^{n × n} und 1 ≤ k ≤ n. Dann definiert

A = $( \begin{matrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{matrix} )$

mit A₁₁  ∈  K^{k × k}, A₁₂  ∈  K^{k × (n − k)}, A₂₁  ∈  K^{(n − k) × k}, A₂₂  ∈  K^{(n − k) × (n − k)} eine 2 × 2-Blockstruktur der Matrix A. Die Matrix A wird in vier Matrizen aufgeteilt, die linke obere Matrix A₁₁ legt dabei die Struktur fest. Blockstrukturen können den Umgang mit großen Matrizen wesentlich vereinfachen. Wir diskutieren einige Beispiele.

Die Blockmultiplikation

Das Produkt zweier Blockmatrizen lässt sich über die Produkte der einzelnen Blöcke gemäß „Zeile mal Spalte“ berechnen:

$( \begin{matrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{matrix} )$ $( \begin{matrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{matrix} )$ = $( \begin{matrix} A_{11} B_{11} + A_{12} B_{21} & A_{11} B_{12} + A_{12} B_{22} \\ A_{21} B_{11} + A_{22} B_{21} & A_{21} B_{12} + A_{22} B_{22} \end{matrix} )$ .

Blockdreiecksmatrizen

Eine Blockmatrix der Form

$( \begin{matrix} A_{11} & 0 \\ A_{21} & A_{22} \end{matrix} )$ oder $( \begin{matrix} A_{11} & A_{12} \\ 0 & A_{22} \end{matrix} )$

nennt man eine (untere bzw. obere) Blockdreiecksmatrix. Für diese Matrizen gilt

det(A) = det(A₁₁) det(A₂₂), σ(A) = σ(A₁₁) ∪ σ(A₂₂).

In 8. 4 haben wir die Blockdeterminantenformel im Beweis verwendet, dass die geometrische Vielfachheit eines Eigenwerts kleinergleich der algebraischen ist.

Das Schur-Komplement

Ist der linke obere Block A₁₁ von A invertierbar, so gilt

$( \begin{matrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{matrix} )$ = $( \begin{matrix} E_{k} & 0 \\ A_{21} A_{11}^{- 1} & E_{n - k} \end{matrix} )$ $( \begin{matrix} A_{11} & A_{12} \\ 0 & S \end{matrix} )$ (Block-LR-Zerlegung)

wobei S = A₂₂ − A₂₁ A⁻¹₁₁ A₁₂ das Schur-Komplement von A₁₁ in A ist. Es gilt

det(A) = det(A₁₁) det(S), σ(A) = σ(A₁₁) ∪ σ(S),

sodass insbesondere die Invertierbarkeit von A äquivalent zur Invertierbarkeit von S ist. Ist der rechte untere Block A₂₂ invertierbar, so führen analoge Überlegungen zum Schur-Komplement A₁₁ − A₁₂ A⁻¹₂₂ A₂₁ von A₂₂ in A.