0.1 Mengen

Intuitiver Mengenbegriff

Mengen und ihre Elemente

Eine Menge ist eine Zusammenfassung von Objekten zu einem Objekt. Die Objekte, die eine Menge bilden, heißen ihre Elemente. Eine Menge ist durch ihre Elemente bestimmt.

Elementbeziehung

Ist ein Objekt x ein Element einer Menge M, so schreiben wir

x  ∈  M, (Epsilon- oder Element-Beziehung)

gelesen: „x epsilon M“, „x Element M“, „x ist in M als Element enthalten“.

Ist x kein Element von M, so schreiben wir x  ∉  M.

Die Elemente einer Menge können beliebige Objekte und damit selbst Mengen sein. Die Menge M hat die Elemente 0, 1, 2 und N. Dabei ist N die aus 0 und 3 gebildete Menge. Es gilt 3  ∉  M.

„Menge“ ist ein nicht definierter Grundbegriff der Mathematik. Welche Mengen existieren, wird durch Axiome geregelt, die man nicht unbedingt kennen muss. Intuitiv ist eine (mathematische) Menge eine Zusammenfassung von (mathematischen) Objekten. Man kann sich diese Zusammenfassung als „Sack“ oder „umzäuntes Gebiet“ vorstellen, in dem sich die Objekte befinden.

Beispiele

(1)	Ist M die aus den Zahlen 1, 2 und 3 gebildete Menge, so gilt 1  ∈  M, 2  ∈  M und 3  ∈  M. Für alle anderen x gilt x  ∉  M.

(2)	ℕ = „die Menge aller natürlichen Zahlen (einschließlich der Null)“, ℤ = „die Menge aller ganzen Zahlen“, ℚ = „die Menge aller rationalen Zahlen“, ℝ = „die Menge aller reellen Zahlen“.

Obwohl das Wort „Menge“ in der Umgangssprache eher „Vieles“ suggeriert, ist es in der Mathematik nützlich, auch den „leeren Sack“ als Menge zuzulassen:

Die leere Menge ∅

Wir bezeichnen die Menge, die kein Element enthält, mit ∅.

Es gilt also x  ∉  ∅ für alle x.

Die Teilmengenbeziehung (Inklusion)

Wir definieren:

Definition (Teilmenge, echte Teilmenge, Obermenge, echte Obermenge)

Eine Menge N heißt Teilmenge einer Menge M, falls jedes Element von N ein Element von M ist. In Zeichen schreiben wir N ⊆ M. Gilt N ⊆ M und N ≠ M, so heißt N eine echte Teilmenge von M. In Zeichen schreiben wir N ⊂ M.

Gilt N ⊆ M bzw. N ⊂ M, so nennen wir M auch eine Obermenge von N bzw. eine echte Obermenge von N. Wir schreiben hierfür auch M ⊇ N bzw. M ⊃ N.

Warnung

Viele Mathematiker (vor allem in der Analysis und Wahrscheinlichkeitstheorie) schreiben der Kürze halber M ⊂ N für M ⊆ N sowie M ⫋ N für M ⊂ N. Die seit Felix Hausdorff betonte Analogie der Notation zu ≤ und < geht dadurch verloren.

Beispiele

(1)	Die Menge der geraden Zahlen ist eine echte Teilmenge der natürlichen Zahlen. Die Menge der von 2 verschiedenen Primzahlen ist eine echte Teilmenge der Menge der ungeraden Zahlen.

(2)	Es gilt ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ.

(3)	Gilt N ⊂ M, so gilt auch N ⊆ M.

(4)	Gilt M₁ ⊆ M₂ und M₂ ⊆ M₃, so gilt auch M₁ ⊆ M₃ (Transitivität der Inklusion). Das Gleiche gilt für die echte Inklusion ⊂.

(5)	Für jede Menge M gilt ∅ ⊆ M (da jedes Element von ∅ auch Element von M ist) und M ⊆ M (da jedes Element von M ein Element von M ist).

Das Extensionalitätsprinzip

Dass eine Menge durch ihre Elemente bestimmt ist, wird oft wie folgt zum Ausdruck gebracht:

Extensionalitätsprinzip

Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn sie dieselben Elemente besitzen.

Es gibt also keine „gelbe“ von den Zahlen 1, 2 und 3 gebildete Menge, die von einer „roten“ von 1, 2 und 3 gebildeten Menge zu unterschieden wäre. Mit Hilfe der Inklusion können wir das Prinzip auch so formulieren:

Extensionalitätsprinzip, Umformulierung

Für alle Mengen M und N gilt M = N genau dann, wenn M ⊆ N und N ⊆ M.