1.6 Notationen und Sprechweisen für Abbildungen

Definition (Stellen, Werte, Definiertheit, f : A → B, Familien)

Sei f eine Funktion auf A.

Allgemeine Sprechweisen

Gilt f (a) = b, so heißt b der Wert von f an der Stelle oder für das Argument a.

Wir sagen, dass a durch f auf b abgebildet wird, dass die Anwendung von f auf a den Wert b ergibt oder dass f an der Stelle a den Wert b annimmt. Die Sprechweise „f (a) ist definiert“ ist gleichbedeutend mit a  ∈  A.

Die Notation f : A → B

Ist B eine Menge mit Bild(f) = { f (a) | a  ∈  A } ⊆ B, so schreiben wir

f : A → B oder f : A   ∋   a ↦ f (a)   ∈  B.

Wir sagen dann, dass f eine Abbildung von A nach B oder zwischen A und B ist. Die Menge B heißt ein Wertevorrat oder eine Zielmenge von f.

Familien

Wir schreiben f auch in der Familien- oder Folgennotation

(b_a)_{a  ∈  A} oder (b_a | a  ∈  A), mit b_a = f (a) für alle a  ∈  A.

Wir nennen eine in der Form (b_a)_{a  ∈  A} notierte Funktion eine Familie mit Indexmenge A oder eine A-Folge. Gilt b_a  ∈  B für alle a, so heißt sie eine Familie in B.

Eine Funktion f : A → B bildet jedes Element a des Definitionsbereichs A auf ein Element f (a) des Wertevorrats B ab. Der Wertebereich Bild(f) ist die Menge aller Funktionswerte (im Diagramm rechts grau dargestellt). Er kann mit B zusammenfallen oder eine echte Teilmenge von B sein.

Ein Wertevorrat B ist vom Wertebereich Bild(f) zu unterscheiden. Der Wertebereich ist die Menge aller angenommenen Werte, so wie der Definitionsbereich die Menge aller definierten Stellen ist (die Sprechweisen sind in der Literatur nicht einheitlich, aber zwischen B und Bild(f) wird immer unterschieden). In f : A → B wird nur verlangt, dass B eine Obermenge des Wertebereichs ist; die Bezeichnung als „Wertevorrat“ oder „Zielmenge“ deutet dies an. Die unsymmetrische Behandlung von A und B liegt daran, dass oft viele verschiedene Abbildungen zwischen fest gewählten Mengen A und B eingeführt und untersucht werden. Sie besitzen unterschiedliche Bilder und oft ist das Bild einer Abbildung zunächst auch gar nicht bekannt.

Beispiele

Wir können sin : ℝ → ℝ, sin : ℝ → [ −1, 1 ] schreiben, nicht aber sin : ℝ → [ 0, 1 ]. Ebenso gilt const^ℕ₀ : ℕ → ℕ, const^ℕ₀ : ℕ → { 0, 1 }, id_A : A → B für alle B ⊇ A usw.

Angabe von Abbildungen

Um sich selbst und die mathematische Mitwelt nicht unglücklich zu machen, müssen Abbildungen immer genau angegeben werden:

Beispiel

Die Sprechweise „die Funktion 1/x“ ist ungenau. Es wird nicht klar, welchen Definitionsbereich die Funktion hat. Weiter benötigt man oft auch ein Funktionszeichen f, g, h, F, G, H, … Eindeutig sind, mit ℝ* = ℝ − { 0 }:

(1)	Sei f : ℝ* → ℝ mit f (x) = 1/x (für alle x  ∈  ℝ). (ordentlich)*

(2)	Sei f : ℝ*   ∋   x ↦ 1/x   ∈  ℝ. (kompakt)

(3)	Sei f die 1/x-Funktion auf ℝ. (Term mit Definitionsbereich)*

Im Kontext von ℝ nicht unbedingt üblich, aber kurz und exakt sind zudem:

(4)	Sei f = { (x, 1/x) \| x  ∈  ℝ* }. (extensional)

(5)	Sei f = (1/x)_{x  ∈  ℝ}. (familiär)*

Das Objekt, über das man redet, wird andernfalls nicht klar. Und Genauigkeit vermeidet Fehlvorstellungen: Die Frage, ob f unstetig an der Stelle 0 ist, welche viele Anfänger falsch mit „ja“ beantworten, wird hinfällig. Denn f ist im Nullpunkt nicht definiert, die Stetigkeit oder Unstetigkeit einer Funktion wird aber nur für Elemente des Definitionsbereichs erklärt. Die Funktion f ist (überall) stetig.

Familien

Familien und Funktionen sind ein und dasselbe: Ist f eine Funktion auf einer Menge A, so gilt f = (f (a))_{a  ∈  A} = (f (a)|a  ∈  A). Umgekehrt ist eine Familie (b_a|a  ∈  A) die Funktion f auf A mit f (a) = b_a für alle a  ∈  A. Die Familien-Notation bringt aber eine eigene Dynamik mit sich. Die Analysis käme ohne Folgen (x_n)_{n  ∈  ℕ} (Familien mit der Indexmenge ℕ) nicht aus; es wäre viel zu umständlich, sie jedes Mal in der Form f : ℕ → ℝ anzugeben.

Beispiel

„Die Folge (2n)_{n  ∈  ℕ} ist monoton steigend.“ ist viel prägnanter als die gleichwertige Aussage „Die Funktion f : ℕ → ℝ mit f (n) = 2n für alle n ist monoton steigend.“

Familien sind nützlich zur Parametrisierung. Eine Familie (f_t | t  ∈  ℝ) kann zum Beispiel eine suggestive Notation für Funktionen f_t : ℝ³ → ℝ sein, die von einem zeitlichen Parameter t abhängen. Oft verwendete „neutrale“ Indexmengen sind I und J.

Viele Notationen für Familien sind fast selbsterklärend, etwa

⋃_{i  ∈  I} A_i = ⋃ { A_i | i  ∈  I } = { a | es gibt ein i  ∈  I mit a  ∈  A_i },

(A_i ∩ B_i | i  ∈  I) = (C_i | C_i = A_i ∩ B_i für alle i  ∈  I)

für gegebene Familien (A_i | i  ∈  I) und (B_i | i  ∈  I) von Mengen.