2.11 Polynomringe und Polynomfunktionen

Definition (Polynom, Polynomring, Koeffizient, Unbestimmte, Grad, normiert)

Sei R ein kommutativer Ring. Wir setzen:

R^(ℕ) =	„die Menge aller Folgen p = (p_n)_n ∈ ℕ in R, die schließlich gleich 0 sind“ =
	{ (p_n)_n ∈ ℕ  ∈  R^ℕ \| es gibt ein n₀, sodass p_n = 0 für alle n ≥ n₀ }.

Für alle p = (p_n)_n ∈ ℕ, q = (q_n)_n ∈ ℕ in R^(ℕ) definieren wir

p + q = (p_n + q_n)_{n  ∈  ℕ},

p · q = (∑_m ≤ n p_m q_n − m)_{n  ∈  ℕ}.

Der so entstehende Ring R^(ℕ) heißt der Polynomring über R. Die Elemente von R^(ℕ) heißen Polynome. Für p  ∈  R^(ℕ) und n ≥ 0 heißt p_n der n-te Koeffizient von p.

(3, −1, 2, 0, 0, 0, …) · (1, 2, 2, 0, 0, 0, …) =

(2X² − X + 3) · (2X² + 2X + 1) =

4X⁴ + (−2 + 4)X³ + (6 − 2 + 2)X² + (6 − 1)X + 3 =

4X⁴ + 2X³ + 6X² + 5X + 3 =

(3, 5, 6, 2, 4, 0, 0, 0, …)

Einführung einer Unbestimmten

Wir setzen

X = (0, 1, 0, 0, 0, …)

und schreiben oft R[ X ] anstelle von R^(ℕ).

Grad eines Polynoms

Wir definieren die Gradfunktion deg : R^(ℕ) → ℕ ∪ { −∞ } durch

$deg (p) = { \begin{matrix} k & falls p_{k} \neq 0 und p_{n} = 0 für alle n \geq k, \\ - \infty & falls p_{n} = 0 für alle n. \end{matrix}$

Wir nennen deg(p) den Grad von p. Hat p den Grad k ≥ 0, so heißt p_k der Leitkoeffizient von p. Ist der Leitkoeffizient gleich 1, so heißt p normiert.

Im Polynomring R[ X ] = R^(ℕ) gilt 0 = (0, 0, 0, …) (Nullpolynom) und 1 = (1, 0, 0, 0, …). Die Unbestimmte X ist ein spezielles Polynom. Für alle n ≥ 0 und p, q  ∈  R[ X ] gilt

Xⁿ = (0, …, 0, 1, 0, 0, 0, …),	mit n Nullen vor der 1,
p = ∑_{n ≤ deg(p)} p_n Xⁿ = p₀ + p₁ X + … + p_nXⁿ,	wobei n = deg(p),
p · q = ∑_{n ≤ deg(p) + deg(q)} c_n Xⁿ,	wobei c_n = ∑_m ≤ n p_m q_n − m.

Diese „termartigen“ Darstellungen beherrschen den Umgang mit Polynomen.

Beispiele

Sei R = ℤ. Wir schreiben kurz (p₁, …, p_n) statt (p₁, …, p_n, 0, 0, 0, …). Dann gilt

(1, 0, 1) = 1 + X²,

(1, 1) (1, 1) = (1 + X) (1 + X) = (1 + X)² = 1 + 2X + X² = (1, 2, 1),

(1, 1) (1, −1) = (1 + X) (1 − X) = 1 − X² = (1, 0, −1),

(3, −1, 2) · (1, 2, 2) = (3, 5, 6, 2, 4) (vgl. obiges Diagramm).

Der Grad eines Polynoms ist ein Maß für seine Komplexität. Dabei ist deg(0) = −∞ eine nützliche Konvention. Die Polynome der ersten Grade haben die Formen:

(0, 0, 0, …) = 0	(Grad −∞)
(p₀, 0, 0, 0, …) = p₀	p₀ ≠ 0, (Grad 0)
(p₀, p₁, 0, 0, 0, …) = p₀ + p₁ X	p₁ ≠ 0. (Grad 1)

Rechenregeln für den Grad

deg(p + q) ≤ max(deg(p), deg(q)), deg(p · q) ≤ deg(p) + deg(q).

Ist der Ring R nullteilerfrei, so gilt Gleichheit für das Produkt.

Durch Einsetzen von Ringelementen für X in ∑_k ≤ n p_k X^k erhalten wir Funktionen:

Definition (Polynomfunktionen, Nullstelle)

Für p = ∑_{k ≤ deg(p)} p_k X^k  ∈  R[ X ] ist die Polynomfunktion f_p : R → R definiert durch

f_p(x) = ∑_{k ≤ deg(p)} p_kx^k für alle x  ∈  R.

Gilt f_p(w) = 0 für ein w  ∈  R, so heißt w eine Nullstelle von p.

In der Regel sind p und f_p zu unterscheiden:

Beispiel

Für p = (X − [ 0 ]) (X − [ 1 ]) (X − [ 2 ])  ∈  ℤ₃[ X ] gilt f_p(x) = 0 für alle x  ∈  ℤ₃. Damit gilt f_P = f₀ mit dem Nullpolynom 0, aber es gilt p ≠ 0. Gleiches gilt für pⁿ, n ≥ 1.

Für viele Ringe R und insbesondere für jeden unendlichen Körper kann man aber zeigen, dass f_p ≠ f_q für p ≠ q. Eine Identifizierung von p und f_p ist dann möglich. Sie wird speziell in analytischen Überlegungen (für R = ℝ oder R = ℂ) oft durchgeführt.

Allgemeinere Einsetzungen

Ist A ein zweiter Ring und · : R × A → A erklärt, so ist ∑_k ≤ n p_k x^k  ∈  A für alle p_k  ∈  R und x  ∈  A definiert. Wir erhalten so für alle p  ∈  R[ X ] eine Polynomfunktion der Form f_p : A → A. Ein Beispiel werden wir in Kapitel 8 kennenlernen, wenn wir Matrizen in ein Polynom einsetzen.