2.5 Kommutative Operationen
Definition (kommutative Operation, abelsche Struktur)
Eine Operation ∘ : M2 → M auf einer Menge M heißt kommutativ, falls gilt:
a ∘ b = b ∘ a für alle a, b ∈ M. (Kommutativgesetz)
Wir nennen dann (H, ∘) kommutativ oder abelsch.
∘ | a | b | c | … |
a | a2 | a ∘ b | a ∘ c | … |
b | a ∘ b | b2 | b ∘ c | … |
c | a ∘ c | b ∘ c | c2 | … |
… | … | … | … | … |
Dem Gesetz entspricht erneut eine anschauliche Eigenschaft der Operationstafel: Es gilt genau dann, wenn die Tafel symmetrisch ist, d. h. die Spiegelung an der Diagonale die Tafel nicht ändert.
Beispiele
(1) | Die Monoide (ℕ, +), (ℤ, +), (ℚ, +), (ℝ, ·), (ℝ*, ·) sind kommutativ. Die Restklassengruppen (ℤm, +) und (ℤ*m, ·) sind abelsch für alle m ≥ 1. Ebenso ist die Kleinsche Vierergruppe V = { e, a, b, c } abelsch. |
(2) | Sind H1 und H2 kommutative Halbgruppen, so auch H1 × H2. |
(3) | Eine Permutationsgruppe SA ist genau dann abelsch, wenn A höchstens zwei Elemente hat. Für die Gruppe S3 gilt zum Beispiel (2, 3, 1) ∘ (1, 3, 2) = (2, 1, 3), (1, 3, 2) ∘ (2, 3, 1) = (3, 2, 1). |
Eine kommutative Operation bringt viele Vereinfachungen mit sich. In Analogie zum Assoziativgesetz können wir die Wirkung der Kommutativität so zusammenfassen:
Wir dürfen beliebig umordnen.
In einer kommutativen Halbgruppe gilt beispielsweise
(a ∘ b)2 = a ∘ b ∘ a ∘ b = a ∘ a ∘ b ∘ b = a2 ∘ b2.
Beim zweiten „=“ wird die Kommutativität b ∘ a = a ∘ b benutzt. Gilt sie nicht, so ist das „Reinziehen“ des Exponenten in der Regel nicht erlaubt. Dies ist auch die einzige Schwierigkeit, die das Gesetz bereitet: Man darf es nicht anwenden, wenn es nicht gilt.
Allgemein gilt:
Potenzierung in kommutativen Strukturen
Ist H eine kommutative Halbgruppe, so gilt:
(a ∘ b)n = an ∘ bn für alle a, b und n ≥ 1.
Ist H ein Monoid oder eine Gruppe, so gilt dies für alle n ∈ ℕ bzw. alle n ∈ ℤ.
Beispiel
In einer abelschen Gruppe G gilt
(a ∘ b)−1 = a−1 ∘ b−1 für alle a, b ∈ G.
Der Leser vergleiche dies mit dem Gegenbeispiel für die S3 in Abschnitt 2.4.
In kommutativen Strukturen sind spezielle Notationen üblich. Die drei folgenden Bemerkungen stellen das Wichtigste hierzu zusammen.
Verwendung des Additionszeichen
Das Additionszeichen + wird ausschließlich für kommutative Operationen verwendet. Andere Operationszeichen wie ∘, ∗, · können sowohl für kommutative als auch für nichtkommutative Operationen verwendet werden.
Notationen für das Pluszeichen
In additiv notierten (und also kommutativen) Strukturen schreiben wir
n a statt an, (Vervielfachung)
−a statt a−1, (additive Inverse)
a − b statt a + (−b), (Subtraktion)
∑1 ≤ k ≤ n ak statt ∏1 ≤ k ≤ n ak, ∑1 ≤ k ≤ 0 ak = 0. (Summe)
Notationen für ein kommutatives Multiplikationszeichen
In abelschen Gruppen (G, ·) mit neutralem Element 1 schreiben wir auch
1/a statt a−1, (Bruchnotation)
a/b statt a · 1/b. (Division)
Unsere Rechengesetze lassen sich mit den neuen Notationen umschreiben. Wir geben exemplarisch einige Übersetzungen an.
Beispiele
(1) | In einer abelschen Gruppe (G, + ) gilt für alle a, b ∈ G und n, m ∈ ℤ: m (na) = (m n) a, na + ma = (n + m)a, n(a + b) = na + nb, −(−a) = a, −(a + b) = −b − a = −a − b. |
(2) | In einer abelschen Gruppe (G, ·) mit neutralem Element 1 gilt für alle a, b ∈ G: aa = 1, 11/a = a, 1ab = 1b · 1a = 1a · 1b, 1a/b = ba (da (a b−1)−1 = b a−1, vgl. 2. 4). |