2.6 Untergruppen

Definition (Untergruppe)

Sei (G, ∘) eine Gruppe, und sei H ⊆ G. Dann heißt H eine Untergruppe von G, falls H zusammen mit der Operation von G eine Gruppe bildet, d. h. falls (H, ∘|H²) eine Gruppe ist.

Illustration des Untergruppenkriteriums: Eine nichtleere Teilmenge H einer Gruppe ist genau dann eine Untergruppe, wenn für je zwei Elemente a und b in H auch a ∘ b⁻¹ ein Element von H ist.

Zu jeder algebraischen Struktur gibt es Unterstrukturen, und wir könnten auch Unterhalbgruppen und Untermonoide betrachten. Wir beschränken uns hier auf Gruppen.

Ist (H, ∘|H²) eine Gruppe, so gilt ∘|H² : H² → H und damit

a ∘ b  ∈  H für alle a, b  ∈  H.

Eine Untergruppe H ist also abgeschlossen unter ∘ (vgl. 1. 8).

Je nach Kontext fassen wir eine Untergruppe H von G als Teilmenge von G oder als vollwertige Gruppe auf.

Beispiele

Wir betrachten die abelsche Gruppe (ℤ, +).

(1)	H = { 2a + 1 \| a  ∈  ℤ } ist nicht abgeschlossen unter +, da 1 + 1  ∉  H. Also ist +\|H² keine Operation auf H und damit H keine Untergruppe von ℤ.

(2)	ℕ ⊆ ℤ ist abgeschlossen unter +, da n + m  ∈  ℕ für alle n, m  ∈  ℕ. Aber ℕ ist keine Untergruppe von ℤ, da (ℕ, +) keine Gruppe ist.

(3)	H = { 2a \| a  ∈  ℤ } ist abgeschlossen unter +. Die Operation + ist nach wie vor assoziativ, 0  ∈  H ist neutral und −2a  ∈  H ist invers zu 2a  ∈  H. Also ist H eine Untergruppe von ℤ.

Das folgende Kriterium erleichtert den Nachweis, ob eine Menge H ⊆ G eine Untergruppe bildet oder nicht.

Untergruppenkriterium

H ⊆ G ist genau dann eine Untergruppe von G, wenn gilt:

(UG1) H ≠ ∅.

(UG2) Für alle a, b  ∈  H ist a ∘ b⁻¹  ∈  H.

Beispiele

(1)	ℤ ist eine Untergruppe von (ℚ, +), ℚ ist eine Untergruppe von (ℝ, +) und ℝ ist eine Untergruppe von (ℂ, +).

(2)	Für jede Gruppe G sind { e } und G die sog. trivialen Untergruppen von G.

(3)	{ (x₁, x₂, 0) \| x₁, x₂  ∈  ℝ } ist eine Untergruppe von (ℝ³, +).

(4)

Wir betrachten noch einmal die Gruppe (ℤ, +). Sei m  ∈  ℕ und

mℤ = { m a | a  ∈  ℤ } = { a m | a  ∈  ℤ } = ℤm

die Menge der ganzzahligen Vielfachen von m. Dann ist mℤ ≠ ∅ und es gilt

a m − b m = (a − b)m   ∈  m ℤ für alle a m, b m   ∈  mℤ.

Nach dem Untergruppenkriterium ist also mℤ eine Untergruppe von (ℤ, +). Man kann zeigen, dass alle Untergruppen von (ℤ, +) von der Form mℤ sind. Die Beweisidee ist: Ist H ≠ { 0 } eine Untergruppe von (ℤ, +), so setzen wir

m = min_{a  ∈  H, a ≠ 0} |a|.

Aus den Abgeschlossenheitseigenschaften von H folgt a m  ∈  H für alle a  ∈  ℤ. Also ist mℤ ⊆ H. Eine Division mit Rest zeigt, dass es kein b  ∈  H − mℤ gibt:

Ansonsten wäre b = a m + c für ein 0 < c < m und damit c = b − am  ∈  H. Also ist H = mℤ.

(5)	Seien G eine Gruppe und a  ∈  G. Dann ist der Abschluss 〈  a  〉 = { aⁿ \| n  ∈  ℤ } der Menge { a } unter der Gruppenoperation eine Untergruppe von G (vgl. 1. 8). Denn es gilt a⁰ = e   ∈  〈  a  〉 und für alle aⁿ, b^m  ∈  〈  a  〉 ist aⁿ ∘ (a^m)⁻¹ = aⁿ ∘ a^−m = a^n − m   ∈  〈  a  〉.

Allgemein definieren wir (mit den Begriffsbildungen aus 1. 8):

Definition (erzeugte Untergruppe, zyklisch)

Sei G eine Gruppe und A ⊆ G. Dann heißt der Abschluss 〈  A  〉 von A unter ∘ die von A erzeugte Untergruppe. Gilt G = 〈  A  〉, so wird G von A erzeugt. G heißt zyklisch, falls G von einem Element a erzeugt wird, d. h., es gibt ein a mit 〈  a  〉 = G.

Jede zyklische Gruppe G = 〈  a  〉 ist abelsch, da aⁿ a^m = a^m + n = a^m aⁿ für alle n, m  ∈  ℤ.

Beispiele

(1)	Für (ℤ, +) und m  ∈  ℕ gilt 〈  m  〉 = 〈  −m  〉 = { a m \| a  ∈  ℤ } = mℤ.

(2)	Die Kleinsche Vierergruppe V = { e, a, b, c } ist abelsch, aber nicht zyklisch, da 〈  e  〉 = { e }, 〈  a  〉 = { e, a }, 〈  b  〉 = { e, b }, 〈  c  〉 = { e, c }.