3.11 Quotientenräume

Definition (Quotientenraum)

Sei V ein K-Vektorraum, und sei U ein Unterraum von V. Dann definieren wir eine Äquivalenzrelation ∼ auf V durch

v ∼ w, falls v − w   ∈  U für alle v, w  ∈  V.

Auf der Faktorisierung V/U = { [ v ] | v  ∈  V } = { v/∼ | v  ∈  V } definieren wir

[ v ] + [ w ] = [ v + w ]	für alle v, w  ∈  V,
α · [ v ] = [ α v ]	für alle α  ∈  K und v  ∈  V.

Der so entstehende Vektorraum V/U heißt der Quotientenraum von V modulo U.

Eine Äquivalenzklasse [ v ] nennen wir auch eine Nebenklasse von V bzgl. U.

Für eine Gerade U durch 0 in ℝ² besteht ℝ²/U aus allen zu U parallelen Geraden [ v ] = v + U.

Die Idee ist, die Vektoren in U als „unwesentlich“ zu betrachten und Vektoren v und w in V miteinander zu identifizieren, deren „Unterschied“ v − w unwesentlich ist.

Die Relation ∼ ist eine Äquivalenz auf V und die Abbildungen + und · sind wohldefiniert. Durch sie wird V/U zu einem K-Vektorraum. Die Klassen [ v ] sind die Vektoren dieses Raums, die Skalare sind einfach die Skalare von V. Der Nullvektor des Quotientenraumes ist U. Für alle v  ∈  V gilt

[ v ] = v + U, wobei v + U = { v + u | u  ∈  U }.

Mit Blick auf die Faktorgruppen in 2. 7 ist die Konstruktion nicht neu: (V/U, +) ist die Faktorgruppe der Gruppe (V, +) bzgl. der Untergruppe U. Da (V, +) abelsch ist, ist U ein Normalteiler. Im Unterschied zur reinen Gruppentheorie kann auf der Faktorgruppe V/U zudem eine Skalarmultiplikation erklärt werden, sodass V/U zu einem Vektorraum wird.

Eigenschaften der Nebenklassen

[ 0 ] = 0 + U = U = 0

[ u ] = U für alle u  ∈  U

∑_{1 ≤ i ≤ n} α_i [ v_i ] = [ ∑_{1 ≤ i ≤ n} α_i v_i ] für alle v₁, …, v_n  ∈  V, α₁, …, α_n  ∈  K

Beispiele

(1)	Für U = { 0 } ist [ v ] = { v } für alle v  ∈  V und damit V/U = { [ v ] \| v  ∈  V } = { { v } \| v  ∈  V }.

(2)	Für U = V ist [ v ] = V für alle v  ∈  V und damit V/U = { V } = { [ 0 ] } = { 0 }.

(3)	Ist U eine Gerade durch den Nullpunkt in der Ebene V = ℝ², so ist eine Nebenklasse [ v ] = v + U eine zu U parallele Gerade. Der Quotientenraum V/U besteht aus allen zu U parallelen Geraden. Analoges gilt für Geraden oder Ebenen durch den Nullpunkt in ℝ³.

(4)

Sei V der ℝ-Vektorraum aller (Riemann-) integrierbaren 2π-periodischen Funktionen f : ℝ → ℝ (V ist ein Unterraum des ℝ^ℝ). Dann ist

U = { f  ∈  V | ∫^2π₀|f (x)| dx = 0 }

ein Unterraum von V. Zwei Funktionen f, g  ∈  V sind äquivalent modulo U, falls

∫^2π₀|f (x) − g(x)| dx = 0.

Der Quotientenraum V/U spielt in der Analysis in der Theorie der Fourier-Reihen eine Rolle. Allgemein werden Quotientenräume dieser Art in der Funktionalanalysis studiert.

Wir betrachten noch, wie sich Basen unter einer Faktorisierung V/U verhalten. Sei hierzu V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum, und sei U ein Unterraum von V mit dim(U) = k. Weiter sei (u₁, …, u_k) eine Basis von U und B = (v₁, …, v_n, u₁, …, u_k) eine Basis von V. Dann gilt für alle Skalare α_i und β_j

[ ∑_{1 ≤ i ≤ n} α_i v_i + ∑_{1 ≤ j ≤ k} β_j u_j ] = [ ∑_{1 ≤ i ≤ n} α_i v_i ] + [ ∑_{1 ≤ j ≤ k} β_j u_j ] =

∑_{1 ≤ i ≤ n} α_i [ v_i ] + ∑_{1 ≤ j ≤ k} β_j 0 = ∑_{1 ≤ i ≤ n} α_i[ v_i ],

sodass man den U-Anteil eines Vektors bezüglich der Basis B vernachlässigen kann. Die Nebenklassen

[ v₁ ], …, [ v_n ]  ∈  V/U

bilden eine Basis B_U = ([ v₁ ], …, [ v_n ]) des Quotientenraums V/U. Also gilt

dim(V/U) = dim(V) − dim(U).

Ist v_B = (α₁, …, α_n, β₁, …, β_k)  ∈  K^n + k der Koordinatenvektor eines Vektors v  ∈  V bezüglich der Basis B, so ist

v_{B_U} = (α₁, …, α_n)  ∈  Kⁿ

der Koordinatenvektor von [ v ]  ∈  V/U bezüglich B_U.