4.7 Darstellung linearer Abbildungen
Satz (Darstellungssatz)
Seien K ein Körper und n, m ≥ 1. Weiter sei f : Kn → Km linear. Dann gibt es eindeutig bestimmte αi, j ∈ K, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, sodass
f(x1, …, xn) = (y1, …, ym) mit
y1 = α1, 1 x1 + α1, 2 x2 + … + α1, n xn,
y2 = α2, 1 x1 + α2, 2 x2 + … + α2, n xn,
…
ym = αm, 1 x1 + αm, 2 x2 + … + αm, n xn.
Ist ej der j-te kanonische Einheitsvektor des Kn, so gilt
(+) f (ej) = (α1, j, …, αm, j) = „j-te Spalte des rechteckigen αi, j-Schemas“.
Zum Beweis verwenden wir (+) zur Definition der αi, j. Dann gilt für alle (x1, …, xn) ∈ Kn:
f(x1, …, xn) = f (x1e1 + … + xnen) = x1f (e1) + … + xnf (en) =
x1(α1, 1, …, αm, 1) + … + xn(α1, n, …, αm, n) =
(x1α1, 1 + … + xn α1, n, …, x1αm, 1 + … + xnαm, n).
Damit gelten die y-Gleichungen des Satzes (wobei wir dort der Konvention folgen, die αi, j vor den xj zu notieren). Einsetzen der Basisvektoren ej für (x1, …, xn) in die Gleichungen zeigt, dass die αi, j eindeutig bestimmt sind.
Die Drehung um π/4 gegen den Uhrzeigersinn ist bestimmt durch die Bilder der Basisvektoren e1 und e2. Mit Hilfe der Koordinaten dieser beiden Werte können alle Werte leicht berechnet werden.
Beispiel
Sei f : ℝ2 → ℝ2 die Drehung um π/4 gegen den Uhrzeigersinn. Mit β = 1/ gilt
f(1, 0) = β (1, 1),
f(0, 1) = β (−1, 1).
Folglich ist
f(x, y) = (x, y)
mit
x = β x − β y,
y = β x + β y.
Der Darstellungssatz gilt allgemeiner in der folgenden Form:
Allgemeiner Darstellungssatz
Sei f : V → W eine lineare Abbildung, und seien (vj)j ∈ J und (wi)i ∈ I Basen von V bzw. W. Dann gibt es eindeutige Skalare αi, j, (i, j) ∈ I ×J, sodass
f (∑j ∈ J λj vj) = ∑i ∈ I μi wi, mit
μi = ∑j ∈ J αi, j λj für alle i ∈ I.
Die αi, j sind definiert durch
(+) f (vj) = ∑i ∈ I αi, j wj
für alle j ∈ J, d. h., die Spalten des αi, j-Schemas sind die Koordinatenvektoren bzgl. (wi)i ∈ I der Bilder der Basisvektoren (vj)j ∈ J.
f | v1 | v2 | … | vj | … |
w1 | α1, 1 | α1, 2 | … | α1, j | … |
w2 | α2, 1 | α2, 2 | … | α2, j | … |
… | … | … | … | … | … |
wi | αi, 1 | αi, 2 | … | αi, j | … |
… | … | … | … | … | … |
αi, j ist der wi-Anteil von f (vj) bzgl. (wi)i ∈ I.
Merkregel: Bei der αi, j-Darstellung von f : V → W verweist der Index j immer auf V und der Index i immer auf W: vj ∈ V, wi ∈ W.
Obiger Darstellungssatz entspricht dem Spezialfall
V = Kn, (vj)j ∈ J = (e1, …, ej, …, en) = „die kanonische Basis des Kn“,
W = Km, (wi)i ∈ I = (e1, …, ei, …, em) = „die kanonische Basis des Km“.
Im allgemeinen Satz können V und W unendlich-dimensional sein. Da auch die Basen beliebig sind, liefert dieser Satz aber auch im Endlich-Dimensionalen etwas Neues:
Beispiel
Sei wieder f : ℝ2 → ℝ2 die Drehung um π/4 gegen den Uhrzeigersinn. Seien
v1 = (1, 0), v2 = β (1, 1), w1 = β (1, 1), w2 = β (−1, 1),
wobei β = 1/. Für die Basen (v1, v2) von V = ℝ2 und (w1, w2) von W = ℝ2 gilt
f (v1) = w1 = 1 w1 + 0 w2,
f (v2) = (0, 1) = 12β (0, 2β) = 12β w1 + 12β w2.
Damit lauten die αi, j gemäß „Koordinatenvektoren der Bilder liefern die Spalten“:
α1, 1 = 1, α1, 2 = 12β,
α2, 1 = 0, α2, 2 = 12β.