5.2 Matrizen und lineare Abbildungen

Definition (Matrix-Vektor-Produkt, zugeordnete Abbildung, darstellende Matrix)

Seien K ein Körper und m, n ≥ 1.

Matrix-Vektor-Produkt

Für A  ∈  K^{m × n} und x = (x₁, …, x_n)  ∈  Kⁿ definieren wir das Matrix-Vektor-Produkt Ax  ∈  K^m von A mit x durch

(+) Ax = $( \begin{matrix} a_{11} & … & a_{1 n} \\ … & … & … \\ a_{m 1} & … & a_{m n} \end{matrix} )$ $( \begin{matrix} x_{1} \\ … \\ x_{n} \end{matrix} )$ = $( \begin{matrix} a_{11} x_{1} + … + a_{1 n} x_{n} \\ … \\ a_{m 1} x_{1} + … + a_{m n} x_{n} \end{matrix} )$ .

Das Produkt Ax für A = (a₁ a₂)  ∈  ℝ^{2 × 2} mit

den Spalten a₁ = (a₁₁, a₂₁) und a₂ = (a₂₁, a₂₂)

Zugeordnete lineare Abbildung

Ist A  ∈  K^{m × n}, so heißt f_A : Kⁿ → K^m,

f_A(x) = Ax für alle x  ∈  Kⁿ,

die A zugeordnete lineare Abbildung.

Weiter setzen wir Kern(A) = Kern(f_A), Bild(A) = Bild(f_A).

Darstellende Matrix

Ist f : Kⁿ → K^m linear, so heißt

A_f = $( \begin{matrix} f (e_{1}) & … & f (e_{n}) \end{matrix} )$   ∈  K^{m × n}

die f darstellende Matrix.

In (+) fassen wir wie vereinbart x  ∈  Kⁿ als n × 1-Matrix und die m × 1-Matrix rechts als Element des K^m auf. Es entsteht eine Abbildung f_A von Kⁿ nach K^m. Die Berechnung von f_A(x) = Ax lässt sich durch „Zeile mal Spalte“ (m-mal durchgeführt) beschreiben. Die wichtige andere Lesart

(++) Ax = x₁ $( \begin{matrix} a_{11} \\ … \\ a_{m 1} \end{matrix} )$ + x₂ $( \begin{matrix} a_{12} \\ … \\ a_{m 2} \end{matrix} )$ + … + x_n $( \begin{matrix} a_{1 n} \\ … \\ a_{m n} \end{matrix} )$ = x₁a₁ + … + x_n a_n.

zeigt, dass Ax eine Linearkombination der Spalten a₁, …, a_n von A ist. Aus beiden Darstellungen lässt sich ablesen, dass

A(x + y) = Ax + Ay, A(λx) = λ Ax für alle x, y  ∈  Kⁿ und λ  ∈  K.

Damit ist f_A : Kⁿ → K^m eine lineare Abbildung. Dass wir umgekehrt einer linearen Abbildung f : Kⁿ → K^m eine Matrix A_f  ∈  K^{m × n} zuordnen können, haben wir im Darstellungssatz in 4. 7 schon gesehen:

Die Spalten von A_f sind die Bilder der kanonischen Basisvektoren e₁, …, e_n unter f.

Die f_A darstellende Matrix ist A selbst. Denn nach Definition des Matrix-Vektor-Produkts Ax sind Ae₁, …, Ae_n die Spalten von A, sodass

A_{f_A} = $( \begin{matrix} f_{A} (e_{1}) & … & f_{A} (e_{n}) \end{matrix} )$ = $( \begin{matrix} {Ae}_{1} & … & {Ae}_{n} \end{matrix} )$ = A.

Genauer gilt:

Isomorphie von Matrizen und linearen Abbildungen

Die Abbildung Ψ : Hom(Kⁿ, K^m) → K^{m × n} mit

Ψ(f) = A_f für alle A  ∈  K^{m × n}

ist ein Isomorphismus mit Ψ⁻¹(A) = f_A für alle A  ∈  K^{m × n}.

Damit haben wir unser Tabellen-Verständnis von Matrizen substantiell erweitert:

Matrizen sind (im Sinne eines Isomorphismus) lineare Abbildungen.

Beispiele

(1)	Sei n ≥ 1. Dann gilt E_nx = x für alle x  ∈  Kⁿ, sodass f_{E_n} = id_Kⁿ. Für eine Diagonalmatrix A = diag(a₁, …, a_n) gilt Ax = (a₁x₁, …, a_nx_n) für alle x = (x₁, …, x_n)  ∈  Kⁿ.

(2)

Die Matrix-Vektor-Produkte mit den Matrizen

A = $( \begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix} )$ , B = $( \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} )$ , C = $( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} )$

über ℝ beschreiben: die Projektion f_A : ℝ² → ℝ, f_A(x, y) = x, auf die erste Komponente; die Einbettung f_B : ℝ → ℝ², f_B(x) = (x, x); die Vertauschung f_C : ℝ² → ℝ², f_C(x, y) = (y, x), der Komponenten.

(3)	Das Matrix-Vektor-Produkt mit der reellen Matrix A = $( \begin{matrix} cos φ & - sin φ \\ sin φ & cos φ \end{matrix} )$ beschreibt die Drehung im ℝ² um den Winkel φ gegen den Uhrzeigersinn.

(4)	Für die Matrizen E_ij der Standardbasis des K^{m × n} gilt E_ij x = (0, …, 0, x_j, 0, …, 0) = x_j e_i   ∈  K^m für alle x  ∈  Kⁿ, wobei x_j an der i-ten Stelle steht. Das Matrix-Vektor-Produkt mit E_ij pickt also die Komponente x_j aus x  ∈  Kⁿ heraus und platziert sie an der i-ten Stelle.

(5)	Mit den Bezeichnungen aus 4. 11 gilt Ψ(E_ij) = E_{i, j}   ∈  Hom(Kⁿ, K^m) für alle i,j, wobei E_{i, j} bezüglich der Standardbasen des Kⁿ und K^m definiert ist.