5.4 Darstellende Matrizen für beliebige Basen

Definition (darstellende Matrix bzgl. zweier Basen)

Seien V, W endlich-dimensionale K-Vektorräume, 𝒜 = (v₁, …, v_n), ℬ = (w₁, …, w_m) Basen von V bzw. W und f : V → W linear.

Dann ist die f bzgl. der Basen 𝒜 und ℬ darstellende Matrix

A = A^{𝒜, ℬ}_f = „A_f bzgl. 𝒜, ℬ“

definiert als

$( \begin{matrix} Φ_{ℬ} (f (v_{1})) & … & Φ_{ℬ} (f (v_{n})) \end{matrix} )$   ∈  K^{m × n},

mit der Koordinatenabbildung

Φ_ℬ : W → K^m.

Für A = A_f bzgl. 𝒜, ℬ und die Koordinatenabbildungen Φ_𝒜 und Φ_ℬ (vgl. 3. 6, 4. 9) gilt

f = Φ⁻¹_ℬ ∘ f_A ∘ Φ_𝒜.

Die Matrix A rechnet die Koordinaten um.

Die Multiplikation entspricht der Komposition: Für A = A_f bzgl. 𝒜, 𝒞 und B = A_g bzgl. 𝒞, ℬ gilt B A = A_g ∘ f bzgl. 𝒜, ℬ.

Die Matrix A berechnet, gegeben die 𝒜-Koordinaten x  ∈  Kⁿ von v  ∈  V, die ℬ-Koordinaten Ax  ∈  K^m von f (v)  ∈  W. Ihre Definition lautet in Kurzform:

Die Spalten von A sind die ℬ-Koordinaten der Bilder der Basisvektoren in 𝒜.

Die Matrix A lässt sich aufstellen, wenn wir die Vektoren f (v_j) als Linearkombinationen bzgl. ℬ schreiben:

f (v₁) = a₁₁ w₁ + … + a_m1w_m,

…

f (v_n) = a_1n w₁ + … + a_mnw_m.

Die Darstellung von f (v₁) liefert die erste Spalte von A, die Darstellung f (v₂) die zweite Spalte von A usw. Der Leser vergleiche den allgemeinen Darstellungssatz in 4. 7.

Die Definition von A^{𝒜, ℬ}_f verallgemeinert die Definition von A_f aus 5. 2. Dort hatten wir V = Kⁿ, W = K^m und die Standardbasen betrachtet. Die Koordinatenabbildungen sind in diesem Fall die Identitäten.

Wir erhalten:

Isomorphie von Matrizen und linearen Abbildungen, allgemeine Form

Für V, W, 𝒜, ℬ wie oben ist die Abbildung Ψ : Hom(V, W) → K^{m × n} mit

Ψ(f) = „A_f bzgl. 𝒜, ℬ“ für alle linearen f : V → W

ein Isomorphismus mit Ψ⁻¹(A) = Φ⁻¹_ℬ ∘ f_A ∘ Φ_𝒜 für alle A  ∈  K^{m × n}.

Beispiel

Im ℝ² seien v₁ = (1, 1) und v₂ = (1, 2). Wir betrachten die durch f (v₁) = e₁, f (v₂) = e₂ eindeutig definierte lineare Abbildung f : ℝ² → ℝ². Es gilt

A_f = $( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} )$ bzgl. (v₁, v₂), (e₁, e₂), da f (v₁) = e₁ + 0e₂, f (v₂) = 0e₁ + e₂,

A_f = $( \begin{matrix} 2 & - 1 \\ - 1 & 1 \end{matrix} )$ bzgl. (v₁, v₂), (v₁, v₂), da f (v₁) = 2v₁ − v₂, f (v₂) = −v₁ + v₂.

Die Definition „A_f bzgl. 𝒜, ℬ“ trägt der Gleichberechtigung aller Basen Rechnung. Folgende Überlegung zeigt jedoch, dass wir eine beliebig vorgegebene Abbildung f sehr einfach darstellen können, wenn wir die Basen 𝒜 und ℬ geschickt wählen:

Die Normalformdarstellung

Sei f : V → W linear, und seien v₁, …, v_r  ∈  V derart, dass w₁ = f (v₁), …, w_r = f (v_r) eine Basis des Unterraums Bild(f) von W bilden. Wir ergänzen nun die v_j zu einer Basis 𝒜 = (v₁, …, v_n) von V, indem wir eine Basis (v_r + 1, …, v_n) von Kern(f) anfügen (ist r = n, so entfällt dieser Schritt). Weiter ergänzen wir die w_i beliebig zu einer Basis ℬ = (w₁, …, w_m) von W. Dann gilt nach Konstruktion

Φ_ℬf (v₁) = e₁, …, Φ_ℬf (v_r) = e_r, Φ_ℬf(v_r + 1) = … = Φ_ℬf (v_n) = 0.

Damit gilt bzgl. 𝒜, ℬ

A_f = $( \begin{matrix} E_{r} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} )$   ∈  K^{m × n}, wobei r = dim(Bild(f)). (Normalformdarstellung)

Ist f : V → W ein Isomorphismus, so ist die darstellende Matrix gleich E_n.

Dies motiviert:

Definition (äquivalente Matrizen)

Zwei Matrizen A, A′  ∈  K^{m × n} heißen äquivalent, falls sie bzgl. geeigneter Basen dieselbe Abbildung darstellen, d. h., falls es K-Vektorräume V, W mit n = dim(V), m = dim(W), ein lineares f : V → W und Basen 𝒜, 𝒜′ von V und ℬ, ℬ′ von W gibt mit

A = A_f bzgl. 𝒜, ℬ, A′ = A_f bzgl. 𝒜′, ℬ′.

Für alle m, n liegt (wie der Name suggeriert) eine Äquivalenzrelation auf K^{m × n} vor. Ein vollständiges Repräsentantensystem wird gegeben durch

0 = $( \begin{matrix} E_{0} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} )$ , $( \begin{matrix} E_{1} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} )$ , $( \begin{matrix} E_{2} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} )$ , …, $( \begin{matrix} E_{k} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} )$   ∈  K^{m × n}, mit k = min(m, n).