7.1 2 × 2-Determinanten

Definition (Determinantenfunktion, Determinante einer 2 × 2-Matrix)

Seien K ein Körper und K^{2 × 2} die Menge der 2 × 2-Matrizen über K. Dann heißt eine Abbildung det : K^{2 × 2} → K eine Determinantenfunktion auf K^{2 × 2}, falls gilt:

Multilinearität in den Spalten

Für alle a, b, c  ∈  K² und alle λ  ∈  K gilt

det $( \begin{matrix} a; & λ b + c \end{matrix} )$ = λ det $( \begin{matrix} a & b \end{matrix} )$ + det $( \begin{matrix} a & c \end{matrix} )$ ,

det $( \begin{matrix} λ a + b; & c \end{matrix} )$ = λ det $( \begin{matrix} a & b \end{matrix} )$ + det $( \begin{matrix} b & c \end{matrix} )$ ,

d. h., für alle a, b  ∈  K² sind die folgenden Abbildungen linear:

det $( \begin{matrix} a; & · \end{matrix} )$ : K² → K, det $( \begin{matrix} ·; & b \end{matrix} )$ : K² → K.

Alternation

Für alle a  ∈  K² gilt det $( \begin{matrix} a & a \end{matrix} )$ = 0.

Normiertheit

Es gilt det E₂ = 1.

Für alle A  ∈  K^{2 × 2} heißt dann det A die Determinante der Matrix A.

Die Determinante der Matrix A mit den Spalten a und b ist dem Betrag nach der Flächeninhalt des von a und b aufgespannten Parallelogramms. In 5. 9 untersuchen wir die geometrische Bedeutung der Determinante genauer.

Das Thema dieses Kapitels sind „gute“ Funktionen det : K^{n × n} → K mit

det A = 0 genau dann, wenn A singulär.

Dann ist det A ≠ 0 äquivalent dazu, dass das lineare Gleichungssystem A x = b für alle b  ∈  Kⁿ eindeutig lösbar ist. Die Lösbarkeit ist also durch die Determinante festgelegt (determinare = bestimmen).

Anstelle einer direkten Definition verfolgen wir, wie seit Karl Weierstraß 1886 üblich, einen axiomatischen Zugang. Dabei hat sich das Trio

„multilinear, alternierend, normiert“

als besonders geeignet erwiesen. Wir untersuchen es in diesem Abschnitt für den Spezialfall n = 2, im nächsten Abschnitt werden wir eine beliebige Dimension n ≥ 1 zulassen.

Notation

Wir trennen die Spalten einer Matrix oft durch Strichpunkte voneinander ab, wenn dies der Lesbarkeit dient.

Determinanten als bilineare Abbildungen

Fassen wir Matrizen des K^{2 × 2} als Elemente von K² × K² auf, so ist eine Determinantenfunktion det : K² × K² → K eine bilineare Funktion (vgl. Kapitel 6). Die Alternation bedeutet, dass für alle a  ∈  K² das Paar (a, a) auf null abgebildet wird. Dies steht im starken Kontrast zur positiven Definitheit 〈 v, v 〉 > 0 für v ≠ 0 eines Skalarprodukts.

Zur Illustration der Konsequenzen und des Zusammenspiels der drei grundlegenden Eigenschaften zeigen wir:

Existenz und Eindeutigkeit der 2 × 2-Determinantenfunktion

Ist det : K^{2 × 2} → K eine Determinantenfunktion, so gilt für alle a, b  ∈  K² und λ  ∈  K:

(1)	det $( \begin{matrix} a; & b + λ a \end{matrix} )$ = det $( \begin{matrix} a & b \end{matrix} )$ + λ det $( \begin{matrix} a & a \end{matrix} )$ = det $( \begin{matrix} a & b \end{matrix} )$ ,

(2)

0 = det $( \begin{matrix} a + b; & a + b \end{matrix} )$ = det $( \begin{matrix} a & a \end{matrix} )$ + det $( \begin{matrix} a & b \end{matrix} )$ + det $( \begin{matrix} b & a \end{matrix} )$ + det $( \begin{matrix} b & b \end{matrix} )$ =

det $( \begin{matrix} a & b \end{matrix} )$ + det $( \begin{matrix} b & a \end{matrix} )$ , sodass det $( \begin{matrix} a & b \end{matrix} )$ = −det $( \begin{matrix} b & a \end{matrix} )$ .

Die Determinante bleibt also bei der Addition des λ-Fachen einer Spalte zu einer anderen unverändert und bei einer Spaltenvertauschung ändert sich das Vorzeichen. Ist nun A  ∈  K^{2 × 2} die Matrix mit den Spalten a = (a₁, a₂) und b = (b₁, b₂), so können wir im Fall a₁ ≠ 0 die Matrix durch Addition des λ = −b₁/a₁-Fachen der ersten Spalte auf die zweite Spalte auf die Form

$( \begin{matrix} a_{1} & 0 \\ a_{2} & b_{2} - λ a_{2} \end{matrix} )$ und im Fall b₂ ≠ λ a₂ weiter auf $( \begin{matrix} a_{1} & 0 \\ 0 & b_{2} - λ a_{2} \end{matrix} )$

bringen, ohne die Determinante zu verändern. Nach Multilinearität und Normierung ist die Determinante einer Diagonalmatrix das Produkt ihrer Diagonaleinträge, sodass

det A = a₁ · (b₂ − λ a₂) = a₁ b₂ − b₁ a₂.

Dieselbe Formel ergibt sich für alle anderen Fälle bei analoger Argumentation. Umgekehrt ist die durch diese Formel definierte Funktion auf K^{2 × 2} multilinear, alternierend und normiert. Damit existiert auf dem K^{2 × 2} genau eine Determinantenfunktion.

Beispiele

(1)	det $( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} )$ = −2, det $( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} )$ = −1, det $( \begin{matrix} cos α & - sin α \\ sin α & cos α \end{matrix} )$ = 1 für alle α  ∈  ℝ.

(2)	Die Determinantenfunktion ist multilinear, aber nicht linear. Es gilt det E₂ + det E₂ = 2 ≠ 4 = det(2E₂).