7.10 Das Kreuzprodukt

 Nach Definition gilt also (mit dem kanonischen Skalarprodukt)

〈 a × b, c 〉  =  det $( \begin{array}{ccc}\text{a;}& \text{b;}& \mathrm{c}\end{array} )$ für alle a, b, c  ∈  ℝ³. Für c = e₁, e₂, e₃ erhalten wir

(a × b)₁  =  〈 a × b, e₁ 〉  =  det $( \begin{array}{ccc}\text{a;}& \text{b;}& {\mathrm{e}}_1\end{array} )$  =  det $( \begin{array}{cc}{\mathrm{a}}_2& {\mathrm{b}}_2\\ {\mathrm{a}}_3& {\mathrm{b}}_3\end{array} )$,

(a × b)₂  =  〈 a × b, e₂ 〉  =  det $( \begin{array}{ccc}\text{a;}& \text{b;}& {\mathrm{e}}_2\end{array} )$  =  −det $( \begin{array}{cc}{\mathrm{a}}_1& {\mathrm{b}}_1\\ {\mathrm{a}}_3& {\mathrm{b}}_3\end{array} )$,

(a × b)₃  =  〈 a × b, e₃ 〉  =  det $( \begin{array}{ccc}\text{a;}& \text{b;}& {\mathrm{e}}_3\end{array} )$  =  det $( \begin{array}{cc}{\mathrm{a}}_1& {\mathrm{b}}_1\\ {\mathrm{a}}_2& {\mathrm{b}}_2\end{array} )$,

sodass

a × b  =  $( \begin{array}{c}{\mathrm{a}}_2{\mathrm{b}}_3-{\mathrm{a}}_3{\mathrm{b}}_2\\ {\mathrm{a}}_3{\mathrm{b}}_1-{\mathrm{a}}_1{\mathrm{b}}_3\\ {\mathrm{a}}_1{\mathrm{b}}_2-{\mathrm{a}}_2{\mathrm{b}}_1\end{array} )$.

Die Transformation lässt sich elegant so zeigen: Für alle a, b, c gilt

〈 Aa × Ab, c 〉  =  det $( \begin{array}{ccc}\text{Aa;}& \text{Ab;}& \mathrm{c}\end{array} )$  =  det (A · $( \begin{array}{ccc}\text{a;}& \text{b;}& {\mathrm{A}}^{-1}\mathrm{c}\end{array} )$)  =  det A · det $( \begin{array}{ccc}\text{a;}& \text{b;}& {\mathrm{A}}^{-1}\mathrm{c}\end{array} )$  =  det A · 〈 a × b, A⁻¹c 〉  =  detA · 〈 (A^t)^{− 1}(a × b), c 〉.

Die Rotation ergibt sich nun aus det(Q) = 1 und (Q^t)⁻¹ = Q für Q  ∈  SO(3).