8.5 Die Trigonalisierung

Satz (Trigonalisierungssatz, Schur-Zerlegung)

Seien V ein n-dimensionaler K-Vektorraum, n ≥ 1, und f : V → V ein Endomorphismus. Dann sind äquivalent:

(a)	V besitzt eine Basis 𝒜 derart, dass die darstellende Matrix A von f bzgl. 𝒜 eine obere Dreiecksmatrix ist. (Schur-Zerlegung)

(b)	Das charakteristische Polynom p_f zerfällt in Linearfaktoren.

A = $( \begin{matrix} λ_{1} & a_{12} & a_{13} & a_{14} & a_{15} & a_{16} \\ 0 & λ_{1} & a_{23} & a_{24} & a_{25} & a_{26} \\ 0 & 0 & λ_{1} & a_{34} & a_{35} & a_{36} \\ 0 & 0 & 0 & λ_{2} & a_{45} & a_{46} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & λ_{2} & a_{56} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & λ_{3} \end{matrix} )$

p_A = (−1)⁶ (X − λ₁)³ (X − λ₂)² (X − λ₃)

λ₁, λ₂, λ₃ paarweise verschieden

Ist A wie in (a), so stehen auf der Diagonale von A die Eigenwerte von f. Genauer gilt: a₁₁, …, a_nn ist eine Aufzählung der Eigenwerte von f, in der jeder Eigenwert λ genau μ_f(λ) mal erscheint. Insbesondere ist

det(f) = det(A) = a₁₁ … a_nn.

Wir wissen, dass f genau dann diagonalisierbar ist, wenn p_f in Linearfaktoren zerfällt und die algebraischen und geometrischen Vielfachheiten übereinstimmen (vgl. 8. 4). Lassen wir die Vielfachheitsforderung fallen, so erhalten wir Trigonalisierbarkeit (Darstellbarkeit durch eine Dreiecksmatrix).

Im Fall K = ℂ ist (b) immer erfüllt. Damit kann also jeder Endomorphismus V eines endlich-dimensionalen ℂ-Vektorraums durch eine obere Dreiecksmatrix dargestellt werden. Allgemeiner gilt dies für jeden algebraisch abgeschlossenen Körper, etwa den Körper K = 𝔸 der algebraischen Zahlen.

Für Matrizen lautet das Ergebnis:

Ist K ein Körper, n ≥ 1 und A  ∈  K^{n × n} beliebig, so sind äquivalent:

(a)	Es gibt ein S  ∈  GL(n, K), sodass S A S⁻¹ eine obere Dreiecksmatrix ist.

(b)	p_A zerfällt in Linearfaktoren.

Ist A wie (a), so können wir A zur Berechnung von p_f verwenden. Da die Determinante einer Dreiecksmatrix das Produkt ihrer Diagonaleinträge ist, gilt

p_f = det(A − XE_n) = (a₁₁ − X) … (a_nn − X),

sodass p_f in Linearfaktoren zerfällt. Diese Überlegung zeigt auch die Behauptung über die Diagonaleinträge von A. Die Implikation von (b) nach (a) lässt sich durch Induktion über die Dimension von V konstruktiv beweisen:

Konstruktion der Basis 𝒜 und der Dreiecksmatrix A

Im Fall n = 1 ist die 1 × 1-Matrix A mit a₁₁ = λ₁ wie gewünscht, wobei p_f = λ₁ − X.

Im Induktionsschritt von n − 1 nach n sei λ₁ ein Eigenwert und v₁ ein zugehöriger Eigenvektor von f. Weiter sei ℬ = (v₁, u₂, …, u_n) eine Basis von V. Die f bzgl. ℬ darstellende Matrix hat in der ersten Spalte die gewünschte Form

B = $( \begin{matrix} λ_{1} & b_{12} & … & b_{1 n} \\ 0 & B′ \end{matrix} )$ mit B′  ∈  K^{(n − 1) × (n − 1)}.

Wir setzen U = span(u₂, …, u_n) ⊆ V und definieren g : U → U durch

g(u_j) = f (u_j) − b_1j v₁ = b_2j u₂ + … + b_nj u_n für alle 2 ≤ j ≤ n.

Es gilt p_f = (λ₁ − X) p_g, sodass p_g in Linearfaktoren zerfällt. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es eine Basis 𝒜′ = (v₂, …, v_n) von U derart, dass die darstellende Matrix A′  ∈  K^{(n − 1) × (n − 1)} von g bzgl. 𝒜′ eine obere Dreiecksmatrix ist. Nun ist 𝒜 = (v₁, …, v_n) wie gewünscht, denn die darstellende Matrix von f bzgl. 𝒜 hat die Form

A = $( \begin{matrix} λ_{1} & a_{12} & … & a_{1 n} \\ 0 & A′ \end{matrix} )$ .

Beispiel

Wir betrachten den nicht diagonalisierbaren Endomorphismus f_C : ℝ³ → ℝ³ mit

C = $( \begin{matrix} 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} )$ , p_C = −(X − 1)³, σ(f) = { 1 }, μ_{p_C}(1) = 3, dim(Eig(C, 1)) = 1.

Den Eigenvektor v₁ = e₃ zum Eigenwert λ₁ = 1 ergänzen wir durch u₂ = e₁, u₃ = e₂ zur Basis ℬ = (v₁, u₂, u₃) = (e₃, e₁, e₂) des ℝ³. Dann ist

B = $( \begin{matrix} λ_{1} & b_{12} & b_{13} \\ 0 & B′ \end{matrix} )$ = $( \begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{matrix} )$ , B′ = $( \begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 2 \end{matrix} )$

die darstellende Matrix von f_C bzgl. ℬ. Seien U = span(e₁, e₂) und g : U → U mit g(e₁) = e₂, g(e₂) = − e₁ + 2e₂. Dann hat g den Eigenvektor w₁ = (1, −1, 0) zum Eigenwert 1 und wird bzgl. der Basis 𝒜′ = (w₁, e₁) von U ⊆ ℝ³ durch die Dreiecksmatrix

A′ = $( \begin{matrix} 1 & - 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} )$

dargestellt. Die darstellende Matrix von f_C bzgl. 𝒜 = (v₁, w₁, e₁) ist

A = $( \begin{matrix} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )$ = S C S⁻¹ mit S⁻¹ = $( \begin{matrix} v_{1} & w_{1} & e_{1} \end{matrix} )$ = $( \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix} )$ .