8.8 Die Singulärwertzerlegung

Satz (Singulärwertzerlegung)

Seien V, W endlich-dimensionale euklidische oder unitäre Vektorräume, n = dim(V), m = dim(W). Weiter sei f : V → W ein Homomorphismus. Dann gibt es Orthonormalbasen 𝒜 und ℬ von V bzw. W derart, dass die darstellende Matrix A  ∈  K^{m × n} von f bzgl. 𝒜, ℬ von der rechteckig diagonalen Form

A = $( \begin{matrix} diag (σ_{1}, …, σ_{r}) & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} )$

ist, mit r = dim(Bild(f)) und reellen bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmten Diagonaleinträgen σ₁, …, σ_r > 0.

Die Diagonaleinträge

σ₁ > 0, …, σ_r > 0, σ_r + 1 = a_{r + 1, r + 1} = 0, …, σ_n′ = a_{n′, n′} = 0

mit n′ = min(m, n) heißen die Singulärwerte von f.

Im Unterschied zur in 5. 4 erreichten Normalformdarstellung (mit der Matrix E_r oben links) verlangen wir hier Orthonormalbasen, was die Konstruktion erschwert. Im Gegensatz zum Normalformproblem für Endomorphismen sind in der Singulärwertzerlegung jedoch unterschiedliche Basen links und rechts zugelassen (auch im Fall V = W), was die Aufgabe erleichtert. Der folgende Beweis zeigt, wie sich die Singulärwertzerlegung aus einer durch den Spektralsatz gelieferten Orthonormalbasis von f* ∘ f ergibt.

Konstruktion der Singulärwertzerlegung

Der Endomorphismus f* ∘ f : V → V ist selbstadjungiert, sodass nach dem Spektralsatz eine Orthonormalbasis 𝒜 = (v₁, …, v_n) aus Eigenvektoren von f* ∘ f existiert. Für die zugehörigen Eigenwerte λ₁, …, λ_n gilt

λ_j = 〈 v_j, f*(f (v_j)) 〉_V = 〈 f (v_j), f (v_j) 〉_W ≥ 0 für alle 1 ≤ j ≤ n.

Durch Umordnung erreichen wir, dass λ₁, …, λ_r > 0, λ_r + 1 = … = λ_n = 0 für

r = dim(Bild(f* ∘ f)) = dim(Bild(f)) ≤ min(m, n).

Wir setzen nun

σ_j = $\sqrt{λ_{j}}$ , w_j = ^f (v_j)_{σ_j} für 1 ≤ j ≤ r.

Für die Vektoren w₁, …, w_r gilt

〈 w_j, w_k 〉_W = ^{〈 f (v_j), f (v_k) 〉_W}_{σ_j σ_k} = ^{〈 v_j, f*(f (v_k)) 〉_V}_{σ_j σ_k} = ^λ_k_{σ_j σ_k} 〈 v_j, v_k 〉_V = δ_jk.

Ergänzen wir sie zu einer Orthonormalbasis ℬ von W, so gilt 〈 w_i, f (v_j) 〉_W = σ_j δ_ij für alle 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, sodass A = A_f bzgl. 𝒜, ℬ die gewünschte Form hat.

Wir formulieren das Ergebnis noch explizit für Matrizen. Dabei notieren wir Matrizen A  ∈  K^{m × n} der Form des Satzes kurz als diag(σ₁, …, σ_r, 0, …, 0).

Singulärwertzerlegung für Matrizen

Für alle A  ∈  ℝ^{m × n} gibt es S  ∈  O(m), T  ∈  O(n) mit

S A T^t = S A T⁻¹ = diag(σ₁, …, σ_r, 0, …, 0)   ∈  ℝ^{m × n} mit positiven σ_j.

Für alle A  ∈  ℂ^{m × n} gibt es S  ∈  O(m), T  ∈  U(n) mit

S A T* = S A T⁻¹ = diag(σ₁, …, σ_r, 0, …, 0)   ∈  ℂ^{m × n} mit positiven σ_j.

Die Determinante von f

Ist V = W, so ist det(f) definiert.

Ist S die orthogonale bzw. unitäre Transformationsmatrix des Basiswechsels von ℬ nach 𝒜, so ist A′ = SA die darstellende Matrix von f bzgl. 𝒜, 𝒜. Folglich ist

det(f) = det(SA) = det(S) det(A) = det(S) σ₁ … σ_n = ± σ₁ … σ_n.

Beispiel

Wir betrachten den ℝ² mit dem kanonischen Skalarprodukt. Sei f = f_A : ℝ² → ℝ² mit

A = $( \begin{matrix} 1 & 1 \\ - 1 & 1 \end{matrix} )$ , sodass A^t A = $( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} )$ = 2 E₂.

Dann hat die Matrix A keine Eigenwerte. Die Abbildung f* ∘ f : ℝ² → ℝ² erfüllt (f* ∘ f)(x) = A^t A x = 2x für alle x, hat also die Eigenwerte λ_{1, 2} = 2 und die orthonormale Eigenbasis 𝒜 = (e₁, e₂). Wir setzen

σ_{1, 2} = $\sqrt{2}$ , α = 1/ $\sqrt{2}$ , w₁ = α f (e₁) = α (1, −1), w₂ = α f (e₂) = α (1, 1).

Die darstellende Matrix von f bzgl. der Orthonormalbasen 𝒜 und ℬ = (w₁, w₂) ist diag(σ₁, σ₂). Die zugehörige Matrizenversion lautet

S A T^t = $( \begin{matrix} α & - α \\ α & α \end{matrix} )$ $( \begin{matrix} 1 & 1 \\ - 1 & 1 \end{matrix} )$ $( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} )$ = $( \begin{matrix} \sqrt{2} & 0 \\ 0 & \sqrt{2} \end{matrix} )$ = diag(σ₁, σ₂),

wobei die Spalten von S^t, T^t  ∈  O(2) aus den Vektoren in ℬ bzw. 𝒜 gebildet sind.