1. Junktoren
In der Mathematik werden die Verknüpfungen
nicht, und, oder, impliziert, äquivalent
zum Teil anders verwendet als in der Umgangssprache. Wichtig sind:
(a) | „A und B“ ist gleichwertig zu „B und A“, |
(b) | „A oder B“ ist gleichwertig zu „B oder A“. |
(c) | „A oder B“ ist kein exklusives „entweder A oder B“, sondern bedeutet „eines von beiden oder auch beide“, „mindestens eine der beiden Aussagen ist richtig“. |
(d) | „A impliziert B“ bedeutet „aus A folgt B“, „wenn A gilt, so gilt auch B“, „A zieht B nach sich“, „A ist hinreichend für B“, „B ist notwendig für A“. Die Implikation will keine Kausalität ausdrücken. „A impliziert B“ ist gleichwertig zu „(nicht A) oder B“. Speziell ist die Aussage „A impliziert B“ stets richtig, wenn die Aussage A falsch ist. |
(e) | „A ist äquivalent zu B“ bedeutet „A gilt genau dann, wenn B gilt“, „A gilt dann und nur dann, wenn B gilt“, „(A impliziert B) und (B impliziert A)“. |
Die folgende Tabelle gibt einen Überblick über die Junktoren.
Zeichen | Bedeutung | Name |
¬ | nicht/non … | Negation |
∧ | … und … sowohl … als auch … | Konjunktion |
∨ | oder (nicht exklusiv) | Disjunktion |
→ | … impliziert … aus … folgt … wenn … so auch … | Implikation |
↔ | … genau dann, wenn … … ist äquivalent zu … … dann und nur dann, wenn … | Äquivalenz |
Genauer wird die Semantik der mathematischen Junktoren durch die folgenden Wahrheitstafeln festgelegt. Dabei steht „w“ für „wahr, gültig“ und „f“ für „falsch, ungültig“.
¬ | A |
f | w |
w | f |
A | ∧ | B |
w | w | w |
w | f | f |
f | f | w |
f | f | f |
A | ∨ | B |
w | w | w |
w | w | f |
f | w | w |
f | f | f |
A | → | B |
w | w | w |
w | f | f |
f | w | w |
f | w | f |
A | ↔ | B |
w | w | w |
w | f | f |
f | f | w |
f | w | f |
Ist zum Beispiel A wahr und B falsch, so ist ¬ A falsch, A ∨ B wahr und A → B falsch.
Mit Hilfe von Klammern lassen sich mehrere Aussagen miteinander verbinden:
(A ∧ ¬B) ∧ C, (A ∨ B) → C, A ∨ (B → C), …
Um Klammern zu sparen, vereinbart man die Bindungsstärke
¬, ∧, ∨, →, ↔ (von stark nach schwach bindend),
die man sich durch Magnete vorstellen kann: Der Magnet ∧ ist stärker als →, sodass zum Beispiel A ∧ B → C die Aussage (A ∧ B) → C ist und nicht etwa A ∧ (B → C).
Ist eine aus A, B, C, … zusammengesetzte Aussage für alle Wahrheitswerte „w“ und „f“ von A, B, C, … wahr, so heißt die Aussage eine Tautologie. Ob eine Tautologie vorliegt, kann man mit Hilfe von Wahrheitstafeln überprüfen. Ein Beispiel ist:
A | → | B | ↔ | ¬ | A | ∨ | B |
w | w | w | w | f | w | w | w |
w | f | f | w | f | w | f | f |
f | w | w | w | w | f | w | w |
f | w | f | w | w | f | w | f |
1 | 5 | 2 | 4 | 3 |
Die Zahlen geben an, in welcher Reihenfolge die Spalten berechnet werden. Die Tafel für ∨ wirkt auf die Spalten 2 und 3, die Tafel für ↔ auf die Spalten 1 und 4.
Ist die zuletzt berechnete Spalte − die Ergebnisspalte der Tafel − nur mit dem Wert „w“ gefüllt, so heißt die untersuchte Aussage eine Tautologie oder allgemeingültig. Weitere Beispiele für Tautologien sind:
¬ ¬ A ↔ A (doppelte Verneinung, duplex negatio affirmat)
A ∨ ¬ A (Prinzip vom ausgeschlossenen Dritten, tertium non datur)
¬ (A ∧ B) ↔ ¬ A ∨ ¬ B, ¬ (A ∨ B) ↔ ¬ A ∧ ¬ B (De-Morgan-Regeln)
A → B ↔ (¬ B → ¬ A) (Kontrapositionsgesetz)
(A → B) ∧ (¬ A → B) → B (Fallunterscheidung)