3. Zum Funktionsbegriff

Abbildungen und ihre Graphen

 Eine Funktion (gleichwertig: Abbildung, Zuordnung, Operator, Familie, Transformation) ist eine rechtseindeutige Relation (vgl. 1. 4). Dadurch wird eine Funktion f mit ihrem Graphen identifiziert:

f  =  graph(f)  =  { (a, b) | f (a) = b }  =  { (a, b) | (a, b)  ∈  f }.

Bemerkung

Diese Definition ist in der mathematischen Grundlagenforschung vorherrschend.

In der Algebra wird eine Funktion oft auch als Tripel f = (graph(f), A, B) in der Bedeutung f : A → B erklärt. Dadurch ergeben sich kleinere begriffliche und notationelle Unterschiede.

Definitionsbereich, Wertebereich, Wertevorrat

 Jede Funktion f hat einen eindeutig bestimmten Definitionsbereich (engl. domain)

Def (f)  =  { a | f (a) ist definiert }  =  { a | es gibt ein b mit f (a) = b }

und einen eindeutig bestimmten Wertebereich (engl. range)

Bild(f)  =  { f (a) | a  ∈  Def (f) }.

Wir schreiben f : A → B, falls A = Def (f) und Bild(f) ⊆ B. Die Menge B heißt dann ein Wertevorrat oder eine Zielmenge für f. Ein Wertevorrat ist nicht eindeutig bestimmt. Für jede Obermenge B von Bild(f) gilt f : A → B.

Bemerkung

(a)

Die Sprechweisen über Wertebereich und Wertevorrat sind nicht einheitlich.

(b)

In der Tripeldefinition ist (graph(f), A, B) ≠ (graph(f), A, C) für B ≠ C.

Ein Wertevorrat gehört hier zu einer Funktion fest mit dazu.

Terme und Variablen

 Eine Funktion kann durch einen Term definiert sein, muss es aber nicht. In vielen Fällen ist eine Termdefinition nicht möglich (auch in der Analysis nicht, vgl. 1. 5). Um die Sprechweise und Notation zu vereinfachen, wird oft vereinbart, dass eine Funktion mit einem sie definierenden Term gleichgesetzt wird. Der Definitionsbereich muss aber aus dem Kontext heraus klar werden (Beispiel: die Funktion x2 auf [ 0, ∞ [ ⊆ ℝ). Eine Variable muss bei der Angabe einer Funktion nicht angegeben werden (also einfach f statt f (x)). Auch hier gilt, dass die Angabe einer Variablen suggestiv und notationell vorteilhaft sein kann, man denke etwa an x(t) für eine zeitabhängige Ortsfunktion x : ℝ → ℝ oder die Bedeutung der Variablen bei der Berechnung von Integralen.