5. Geometrische Grundlagen

 Die euklidische Ebene ist definiert durch

ℝ²  =  ℝ × ℝ  =  { (x, y) | x, y  ∈  ℝ }  =  { v | v = (v₁, v₂) mit v₁, v₂  ∈  ℝ }.

Für alle Vektoren v = (v₁, v₂), w = (w₁, w₂) der Ebene definieren wir das euklidische Skalarprodukt 〈 v, w 〉 von v und w und die Norm oder Länge ∥ v ∥ von v durch

〈 v, w 〉  =  v • w  =  v₁ w₁  +  v₂ w₂,

∥ v ∥  =  $\sqrt{\langle \mathrm{v},\mathrm{v}\rangle }$  =  $\sqrt{{\mathrm{v}}_1^2+{\mathrm{v}}_2^2}$.

Kreise und Ellipsen

 Für alle r > 0 ist die Kreislinie mit Radius r und Mittelpunkt 0 definiert durch

K_r  =  { v  ∈  ℝ² | ∥ v ∥ = r }  =  { (x, y)  ∈  ℝ² | x² + y² = r² }  =  { (cos α, sin α) | α  ∈  [ 0, 2π [ }.

 Für alle a, b  ∈  ℝ ist

E_{a, b}  =  { (ax, by) | (x, y)  ∈  K₁ }  =  { (a cos α, b sin α) | α  ∈  [ 0, 2π [ }.

eine achsenparallele Ellipse mit den Halbachsen |a| und |b| (ist a = 0 oder b = 0, so ist die Ellipse degeneriert). Für a, b ≠ 0 erhält man die Darstellung

E_{a, b}  =  {  (x, y)  ∈  ℝ² ∣ (^x_a)²  +  (^y_b)²  =  1  }.

 Allgemeine Ellipsen mit Mittelpunkt 0 entstehen aus den achsenparallelen Ellipsen durch Drehung. Sie haben (was keineswegs trivial ist) die Form

E_{a, b, c, d}  =  { (ax + by, cx + dy) | (x, y)  ∈  K₁ },  mit beliebigen a, b, c, d  ∈  ℝ.

Eine Ellipse erscheint so als das Bild des Einheitskreises unter einer linearen Abbildung (vgl. 4. 6 und 8. 9).

Geraden

 Für alle v  ∈  ℝ² − { 0 } ist

U_v  =  { αv | α  ∈  ℝ }

die durch den Richtungsvektor v definierte Gerade durch den Nullpunkt. Eine alternative Möglichkeit, eine Gerade zu definieren, ist, alle auf einem bestimmten Vektor w ≠ 0 senkrecht stehenden Vektoren zu betrachten:

U_{w, ⊥}  =  { v  ∈  ℝ² | 〈 v, w 〉  =  0 }  =  { (x, y)  ∈  ℝ | xw₁  +  yw₂  =  0 }.

Die Dimension n = 3

 Im dreidimensionalen Raum ℝ³ = ℝ² × ℝ = { (v₁, v₂, v₃) | v₁, v₂, v₃  ∈  ℝ } sind das euklidische Skalarprodukt und die euklidische Länge definiert durch

〈 v, w 〉  =  v • w  =  v₁ w₁  +  v₂ w₂  +  v₃ w₃,

∥ v ∥  =  $\sqrt{\langle \mathrm{v},\mathrm{v}\rangle }$  =  $\sqrt{{\mathrm{v}}_1^2+{\mathrm{v}}_2^2+{\mathrm{v}}_3^2}$.

Für alle r > 0 ist

K_r  =  { v  ∈  ℝ³ | ∥ v ∥  =  r }  =  { (x, y, z)  ∈  ℝ³ | x²  +  y²  +  z²  =  r² }

die Oberfläche einer Kugel mit Radius r und Mittelpunkt 0. Weiter ist

E_{a, b, c}  =  { (ax, by, cz) | (x, y, z)  ∈  K₁ }

ein achsenparalleles Ellipsoid mit den Halbachsen |a|, |b|, |c|. Allgemeine Ellipsoide mit Mittelpunkt 0 haben die Form (vgl. 8. 9)

{ (a₁₁x + a₁₂y + a₁₃z,  a₂₁x + a₂₂y + a₂₃z,  a₃₁x + a₃₂y + a₃₃z) | (x, y, z)  ∈  K₁ }.

 Sind u und v Vektoren des ℝ³, die nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen, so ist

U  =  { αu + βv | α, β  ∈  ℝ }

eine Ebene des ℝ³. Alternativ kann man eine Ebene als Menge { v  ∈  ℝ³ | 〈 v, w 〉 = 0 } aller Vektoren definieren, die auf einem Vektor w ≠ 0 senkrecht stehen.