3. Gershgorin-Kreise und die Lage der Eigenwerte

Wir betrachten eine Matrix A  ∈  ℂ^{n × n}, einen Eigenwert λ  ∈  σ(A) und einen zugehörigen Eigenvektor z  ∈  ℂⁿ − { 0 }. Wegen Az = λz gilt ∑_j a_ijz_j = λz_i für alle i, sodass

∑_{j mit j ≠ i} a_ij z_j = λz_i − a_ii z_i = (λ − a_ii) z_i für alle i.

Wir betrachten nun eine im Betrag maximale Komponente des Eigenvektors z. Sei also i* derart, dass

|z_i*| = max_{1 ≤ j ≤ n} |z_j|.

Wegen z ≠ 0 ist z_i* ≠ 0. Damit gilt

(+) |λ − a_i*i*| ≤ ∑_j ≠ i* |a_i*j|^|z_j|_{|z_i*|} ≤ ∑_j ≠ i* |a_i*j|.

Damit haben wir den Abstand von λ zum Diagonaleintrag a_i*i* abgeschätzt. Definieren wir also für alle 1 ≤ i ≤ n den i-ten Gershgorin-Kreis von A durch

G(i) = { w  ∈  ℂ | |w − a_ii| ≤ ∑_j ≠ i |a_ij| },

so liegt jeder Eigenwert von A nach (+) in mindestens einem Gershgorin-Kreis von A. Diese Kreise überdecken also das Spektrum von A:

σ(A) ⊆ ⋃_{1 ≤ i ≤ n} G(i).

Hat A im Betrag kleine Einträge außerhalb der Diagonale, so haben die Gershgorin-Kreise einen kleinen Radius, sodass wir in einfacher Weise eine recht genaue Auskunft über die Lage der Eigenwerte von A erhalten können.

Genauer lässt sich zeigen:

Ist ein Kreis G(i) disjunkt von allen anderen, so enthält er genau einen Eigenwert.

Für eine noch genauere Beschreibung setzen wir

G(I) = ⋃_{i  ∈  I} G(i) für I ⊆ { 1, …, n }.

Dann gilt, mit in ihrer Vielfachheit gezählten Eigenwerten:

Sind I₁ und I₂ disjunkt mit I₁ ∪ I₂ = { 1, …, n } und G(I₁) ∩ G(I₂) = ∅,

so enthält G(I₁) genau |I₁| und G(I₂) genau |I₂| Eigenwerte.

Die folgenden Diagramme zeigen die Gershgorin-Kreise für vier 2 × 2-Matrizen und eine 4 × 4-Matrix. Die Mittelpunkte der Kreise sind durch kleine graue Punkte markiert, die Eigenwerte durch größere schwarze Punkte. Die 2 × 2-Matrizen zeigen, dass die Eigenwerte am Rand der Kreise liegen können und dass ein Kreis im Fall einer Überlappung oder einer Inklusion keinen Eigenwert enthalten muss.