Parametrisierungen

Definition (Standardparametrisierung)

Seien r > 0, φ₀  ∈  ℝ, I = [ φ₀, φ₀ + 2π ]. Dann heißt die Kurve f : I → ℝ² mit

f (t) = r (cos t, sin t) für alle t  ∈  I

die Standardparametrisierung des Kreises K_r bzgl. I. Im Fall I = [ 0, 2π ] nennen wir f kurz die Standardparametrisierung von K_r.

Es gilt spur(f) = { f (t) | t  ∈  I } = K_r. Die Kurve f durchläuft den Kreis K_r gegen den Uhrzeigersinn. Sie startet und endet im Punkt

f (φ₀) = r (cos φ₀, sin φ₀) = r (cos(φ₀ + 2π), sin(φ₀ + 2π))  ∈  K_r

Jeder Parameter t  ∈  I ist ein Argument des Punktes f (t)  ∈  ℝ².

Wir können die Parametrisierung auch auf halboffenen Intervallen der Länge 2π betrachten, um den doppelten Besuch eines Punktes auszuschließen. Weiter können wir längere Intervalle zulassen, sodass der Kreis mehrfach vollständig oder unvollständig durchlaufen wird. Eine natürliche Parametrisierung, die K im Uhrzeigersinn durchläuft, ist g : [ 0, 2 π ] → ℝ² mit

g(t) = (sin t, cos t) für alle t  ∈  [ 0, 2π ](Uhr-Parametrisierung)

Sie startet und endet im Punkt (0, 1) und entspricht also dem Zeigerverlauf einer klassischen analogen Uhr.

Die Standardparametrisierung hat die Ableitung

f ′(t) = ^d_dtf (t) = r (−sin t, cos t) = r rot_π/2(cos t, sin t) = r rot_π/2(f (t))

Der Tangentialvektor f ′(t) steht für alle t senkrecht auf dem Vektor f (t) und er besitzt die konstante Länge r.

Durchlauf des Farbspektrums

Den Verlauf einer injektiven Kurve f : [ a, b ] → ℝ² können wir mit Hilfe von Farben visualisieren. In den folgenden Diagrammen wird das Farbspektrum im Intervall [ a, b ] von Violett nach Rot durchlaufen. Die Spur der Kurve wird entsprechend eingefärbt. Im Gegensatz zu den Farbplots für Matrizen verwenden wir einen Farbverlauf mit einer Unstetigkeitsstelle am Start- und Endpunkt. Dadurch wird die Durchlaufrichtung sofort ersichtlich.

Die Standardparametrisierung f : [ 0, 2π ] → ℝ² von K mit f (t) = (cos t, sin t) zusammen den Tangentialvektoren f ′(t) = rot_π/2(f (t)) für t = 0, π/2, π, 3π/2. Die Kurve durchläuft das Farbspektrum gegen den Uhrzeigersinn mit Start und Ende in (1, 0).

Die Uhr-Parametrisierung g : [ 0, 2π ] → ℝ² von K mit f (t) = (sin t, cos t). Die Kurve durchläuft den Kreis im Uhrzeigersinn mit Start und Ende in (0, 1).

Die Kurve h : [ 0, 2π ] → ℝ² mit

h(t) = 2 (cos(t + φ₀), sin(t + φ₀)), φ₀ = π/3

Sie durchläuft den zentrischen Kreis K₂ mit Radius 2 gegen den Uhrzeigersinn mit Start und Ende in (1, $\sqrt{3}$ ). Die Tangentialvektoren haben die Länge 2.