Achsenparallele Ellipsen

 Diagonalmatrizen verformen Kreise zu Ellipsen:

Definition (achsenparallele Ellipse)

Für alle σ1, σ2 > 0 ist die achsenparallele Ellipse Eσ1, σ2 mit den Halbachsen σ1 und σ2 definiert durch

Eσ1, σ2  =  diag(σ1, σ2) [ K ]  =  { (σ1 x, σ2 y) | (x, y)  ∈  K }

 Der Leser vergleiche dies mit der Definition der zentrischen Kreise

Kr  =  diag(r, r)[ K ]

Im Gegensatz zu den zentrischen Kreisen sind nun die Diagonaleinträge σ1 und σ2, die die Skalierung in x- bzw. y-Richtung bewirken, im Allgemeinen verschieden voneinander.

 Die Ellipse schneidet die Koordinatenachsen in den Scheitelpunkten

(σ1, 0),  (0, σ2),  (−σ1, 0),  (0, −σ2)

Wir nennen diese Punkte auch die Halbachsenvektoren von Eσ1, σ2. Ist σ1 ≠ σ2, so können wir von großen und kleinen Halbachsen und zugehörigen Vektoren sprechen. Ist σ1 ≥ σ2 (σ2 ≥ σ1), so sagen wir, dass sich Eσ1, σ2 in erster (zweiter) Hauptlage befindet.

Konvention: Bezeichnung der Halbachsen

Im Folgenden bezeichnen wir die Halbachsen (genauer: ihre Längen) einer Ellipse mit σ1 und σ2 und ihre Quadrate mit λ1 und λ2 (sodass λ1 = σ12, λ2 = σ22). Alternativ verwenden wir oft auch die Bezeichnungen a und b für die Halbachsen, sodass Eσ1, σ2 = Ea, b. Im Umfeld von Matrizen sind die klassischen Bezeichnungen a, b ungünstig, da wir eine Matrix A oft in der Form A = ((a, b), (c, d)) notieren.

 Ellipsen lassen sich wie Kreise mit Hilfe von algebraischen Gleichungen beschreiben:

Satz (algebraische Darstellung von achsenparallelen Ellipsen)

Seien σ1, σ2 > 0. Dann gilt

Eσ1, σ2  =  { (x, y) | λ2 x2 + λ1 y2  =  λ1 λ2 },

d. h. die Ellipse Eσ1, σ2 wird definiert durch die algebraische Gleichung

λ2 x2 + λ1 y2  −  λ1 λ2  =  0

Beweis

Mit D = diag(σ1, σ2) und D−1 = diag(1/σ1, 1/σ2) gilt:

Eσ1, σ2 =  { D (x, y) | (x, y)  ∈  K }
=  { (x, y) | D−1(x, y)  ∈  K }
=  { (x, y) | (x/σ1)2 + (y/σ2)2  =  1 }  =  { (x, y) | λ2 x2 + λ1 y2  =  λ1 λ2 }
ellipsen1-AbbIDellipses_1

Die achsenparallelen Ellipsen E2, 1, E1, 2 und E3, 1/2. Nach Definition gilt

E2, 1  =  diag(2, 1) [ K ],  E1, 2  =  diag(1, 2) [ K ],  E3, 1/2 = diag(3, 1/2) [ K ]

Die Ellipsen werden definiert durch die algebraischen Gleichungen

x2  +  4 y2  =  4,  4 x2  +  y2  =  4,  1/4 x2  +  9 y2  =  9/4

Alternative Form

Die algebraischen Gleichungen

λ2 x2 + λ1 y2  =  λ1 λ2  und  (xσ1)2  +  (yσ2)2  =  1

sind äquivalent. Die rechte Form entspricht vielleicht eher der Anschauung, dass achsenparallele Ellipsen in Koordinatenrichtung skalierte Kreise sind. Die linke Form betont den Wert

λ1 λ2  =  det(D)2  mit D = diag(σ1, σ2).

Dieser Wert wird uns im Folgenden noch häufiger begegnen.