Fokusierte Ellipsen

 Die beiden Brennpunkte einer Ellipse ersetzen den Mittelpunkt eines Kreises. Es ist nur natürlich, sie ins Zentrum (den Ursprung des Koordinatensystems) zu rücken. Sei hierzu E_a, b eine Ellipse mit a ≥ b. Die Fokuspunkte sind F_1,2 = (± e, 0). Wir verschieben die Ellipse entlang der x-Achse nach links bzw. rechts, sodass die Brennpunkte mit dem Nullpunkt zusammenfallen. Wir betrachten also

EF1a, b  =  tr−F1[ E a, b ]  =  Ea, b, 0, (−e, 0)

EF2a, b  =  tr−F2[ E a, b ]  =  Ea, b, 0, (e, 0)

Die Ellipse EF1a, b hat ihren rechten Brennpunkt im Nullpunkt und ihren linken Brennpunkt bei (−2e, 0). Analog hat EF2a, b ihren linken Brennpunkt im Nullpunkt und ihren rechten Brennpunkt bei (2e, 0). Diese Ellipsen spielen in den Keplerschen Gesetzen über die Bewegung der Planeten in unserem Sonnensystem eine wichtige Rolle: Die Bahn eines Planeten ist eine Ellipse, und die Sonne (das Zentrum der Kraft) steht in einem Brennpunkt der Ellipse.

 Nach obigen Überlegungen wird EF1a, b definiert durch die Gleichung

b² (x + e)²  +  a² y²  =  a² b²

Ausmultiplizieren und Umstellen ergibt

b² x²  +  a² y²  +  2 b² e x  =  b²(a² − e²)

Die rechte Seite ist gleich b⁴. Durch Division mit a² erhalten wir mit dem Halbachsenparameter ρ = b²/a, e = a ε und b²/a² = 1 − ε² die Gleichung

(1 − ε²) x²  +  y²  +  2ρ ε x  =  ρ²

in der alle Parameter durch die Exzentrizität und den Halbachsenparameter ausgedrückt sind. Analoge Überlegungen gelten für F₂.

 Wir halten fest:

 Die zweite Form ist bemerkenswert: Ein Kreis K_r mit Radius r wird definiert durch x² + y² = r² mit ρ = r. Für fokusierte Ellipsen wird die rechte Seite mit der von x abhängigen „Korrektur“ ε x versehen.