Parametrisierungen
Kreisparametrisierungen lassen sich in einfacher Weise auf Ellipsen übertragen. Ist f : [ 0, 2 π ] → ℝ2 mit f (t) = (cos t, sin t) für alle t ∈ [ 0, 2π ], so sind die Kurven g, h, k : [ 0, 2 π ] → ℝ2 mit
g(t) = diag(a, b) f (t) = (a cos t, b sin t)
h(t) = rotφ diag(a, b) f (t)
k(t) = rotφ diag(a, b) f (t) + v0
Parametrisierung von Ea, b, Ea, b, φ bzw. Ea, b, φ, v0. Diese Parametrisierungen starten in einem Scheitelpunkt der Halbachse a und durchlaufen ihre Ellipse gegen den Uhrzeigersinn. Analog lässt sich jede andere Parametrisierung von K übertragen. Wir werden Parametrisierungen von Ellipsen später genauer untersuchen und dabei auch eine alternative Form des Durchlaufs diskutieren, bei der wir den Kreis auf die Ellipse projizieren.
Die Parametrisierungen g, h : [ 0, 2π ] → ℝ2 von E2, 1 bzw. E2, 1, φ mit φ = π/3. Es gilt
g(t) = diag(2, 1) (cos t, sin t), h(t) = rotπ/3 diag(2, 1) (cos t, sin t) für alle t ∈ [ 0, 2π ]
Die Farben entsprechen den Zeiten im Intervall [ 0, 2π ] (Winkeln im Einheitskreis). Die Ellipsen werden gegen den Uhrzeigersinn von lila nach rot durchlaufen. Die farbliche Unstetigkeitsstelle markiert den Start und Endpunkt einer Kurve.
Die Parametrisierung g von E2, 1 im Vergleich zur Standardparametrisierung f von K2:
g(t) = (2 cos t, sin t), f (t) = (2 cos t, 2 sin t) für alle t ∈ [ 0, 2π ]
Die Ellipse erbt die Farben des Kreises K2 durch Stauchung entlang der y-Achse. Die Punkte entsprechen den Zeiten tk = k 2π/12 = k π/6 für k = 0, …, 11.
Das Hinzunahme eines umschließenden Kreises, aus dem eine Ellipse durch Skalierung hervorgeht, ist für geometrische Überlegungen oft hilfreich. Wir werden ihr insbesondere bei den Keplerschen Gesetzen wieder begegnen.