Das Umfangsproblem

 Der Umfang einer Ellipse ist überraschenderweise weitaus schwieriger zu berechnen. Die in Analogie zum Umfang eines Kreises aus

2 r π  =  (r + r)π

gebildete Formel (a + b)π kann nicht richtig sein: Der Umfang von E_{a, b} konvergiert gegen 4a, wenn b gegen 0 konvergiert: Der Wert 4a ist das Doppelte der Länge von [ −a, a ] und der Umfang einer degenerierten Ellipse mit den Halbachsen a und 0. Die Formel (a + b) π ist also nicht korrekt. Tatsächlich gilt:

Es gibt keine einfache Formel für den Umfang einer Ellipse.

In der Analysis zeigt sich, dass der Umfang einer Ellipse E_a, b mit a ≠ b nicht mehr mit Hilfe der elementaren Funktionen (Polynome, rationale Funktionen, trigonometrische Funktionen, Exponentialfunktionen usw.) berechnet werden kann. Der Umfang einer Ellipse E_a, b mit Halbachsen a > b lässt sich mit Hilfe der allgemeinen Längenformel einer Kurve durch das Integral

4a E(ε)  =  4 a ∫^π/2₀ $\sqrt{1-\mathrm{\epsilon }{\mathrm{}}^2{\text{sin}}^2\mathrm{\phi }}$ dφ,  wobei  ε²  =  1 − b²/a²

darstellen und numerisch approximieren, aber der Integrand besitzt keine elementare Stammfunktion. Es müssen neue Funktionen über elliptische Integrale eingeführt werden. So wie bei der Berechnung des Umfangs eines Kreises die „neue“ Zahl π entdeckt wird, so werden bei der Berechnung des Umfangs von Ellipsen neue Zahlen E(ε) entdeckt. Bemerkenswert bleibt, dass Flächeninhalt und Umfang so verschieden sind. Für die Flächenberechnung reicht π, für die Umfangsbestimmung muss die Analysis ihre Grenzen erweitern. Wir kommen im Kapitel über „Flächenberechnung und Bahnlängen“ auf diese Fragen zurück.