Die Einheitshyperbel
Eine einzige Vorzeichenänderung führt von den Ellipsen zu den Hyperbeln. Den Ausgangspunkt bildet das zum Einheitskreis K = K1 analoge Objekt:
Definition (Einheitshyperbel)
Wir definieren die Einheitshyperbel H1 der Euklidischen Ebene ℝ2 durch
H1 = { (x, y) ∈ ℝ2 | x2 − y2 = 1 }
Die Einheitshyperbel H1 = { (x, y) ∈ ℝ2 | x2 − y2 = 1 } zusammen mit ihren Asymptoten, die durch die Gleichungen y = x und y = −x definiert werden.
Im Vergleich mit dem Einheitskreis sind zwei Dinge besonders auffällig: Die Einheitshyperbel ist eine unbeschränkte Teilmenge der Ebene. Weiter hat sie zwei Komponenten:
H1+ = { (x, y) ∈ H | x > 0 }(rechter Ast)
H1− = { (x, y) ∈ H | x < 0 }(linker Ast)
Gilt x2 − y2 = 1, so unterscheiden sich |x| und |y| nur wenig, wenn diese Beträge groß sind. Genauer sind die beiden Geraden
G1 = { (x, y) ∈ ℝ2 | y = x }, G2 = { (x, y) ∈ ℝ2 | y = −x }
Asymptoten der Hyperbel H1. Den Einheitskreis K1 schneidet die Hyperbel H1 genau in den Punkten (1, 0) und (−1, 0).