Der Halbachsenparameter

 Für eine Parabel Pa mit der Öffnung a > 0 können wir in Analogie zu den Ellipsen und den Hyperbeln den Punkt (x, 1/(4a)), x > 0, auf der Parabel berechnen, also die Länge der waagrechten Strecke vom Brennpunkt F = (0, 1/(4a)) zu einem Punkt auf der Parabel. Für dieses x gilt a x2 = 1/(4a), sodass x = 1/(2a).

Definition (Halbachsenparameter)

Der Halbachsenparameter einer Parabel Pa mit a > 0 ist definiert durch ρ = 1/(2a).

ellipsen1-AbbIDparabola_halbachsenpara_1

Für eine Parabel Pa ist ρ = 1/(2a) der waagrechte Abstand des Brennpunktes zur Parabel. Der Halbachsenparameter ist das Doppelte der y-Koordinate von F.

 In natürlicher Weise ist auch wieder erklärt:

Definition (Fokusabstand für Parabeln)

Der Fokusabstand c einer Parabel P = Pa ist definiert durch

c  =  1/(4a)

 Mit ε = 1 und ρ = 1/(2a) gilt offensichtlich:

Satz (Fokusabstandsformel)

Für den Fokusabstand c einer Parabel Pa gilt:

c  =  ρ2  =  ρ1 + ε,  ε  =  ρc − 1

 Damit ist die Fokusabstandsformel c = ρ/(1 + ε) für Ellipsen, Hyperbeln und Parabeln gleichermaßen gültig.

 Wie bei den Ellipsen und Hyperbeln ist der Fokusabstand der minimale Abstand eines Punktes der Parabel zum Brennpunkt. Genauer gilt:

Satz (Abstand eines Parabelpunktes zum Fokus)

Sei a > 0. Weiter sei x  ∈  ℝ und P = (x, a x2)  ∈  Pa. Dann gilt:

∥ P  −  F ∥2  =  (a x2 + 1/(4a))2

Der Abstand ist ∥ P − F ∥ ist minimal für x = 0 (und gleich 1/(4a)).

Beweis

Es gilt

∥ P  −  F ∥2 =  x2 + (a x2 − 1/(4a))2  =  x2 + a2 x4 − x2/2 + 1/(4a)2
=  a2 x4  +  x2/2  +  1/(4a)2  =  (a x2 + 1/(4a))2

Der Zusatz ist klar.

 Es stellt sich:

Die Frage nach den Halbachsen

Eine Parabel Pa hat nur eine Symmetrieachse und es gibt keine erkennbaren Halbachsen σ1, σ2 (a ist die Öffnung, sodass wir σ1,2 verwenden). Um so erfreulicher ist, dass wir mit

ε  =  1,  ρ  =  12a

zwei der vier Größen σ1, σ2, ε, ρ definieren können. Ein Fokusabstand c ist definiert und es gilt Formel c = ρ/(1 + ε). Es stellt sich die Frage, ob es „sinnvolle“ Definitionen von Halbachsen σ1, 2 und weiter von e für eine Parabel Pa gibt, die vertraute Formeln erhalten. Eine (experimentelle) Möglichkeit ist

σ1  =  e  =  14a,  σ2  =  2 σ1(„Halbachsen“ für Parabeln)

Dann ist F = (0, e) und wie bei den Ellipsen und Hyperbeln gilt:

ε  =  eσ1,  ρ  =  σ22σ1

e  =  σ12+sgn(ε−1)σ22  (mit sgn(0) = 0)

Die Formel 1 − ε2 = ± σ22/σ12 für Ellipsen und Hyperbeln gilt in der „0 = 0“-Form

1 − ε2  =  sgn(1 − ε) σ22σ12