Parabeln in Polarkoordinaten
Den Abschluss bilden die Parabeln. Sei a > 0. Aus der Gleichung
a x2 − y = 0(Pa in kartesischen Koordinaten)
erhalten wir mit x = r cos φ und y = r sin φ die äquivalente Gleichung
a r cos2 φ − sin φ = 0
sodass
r = (1/a) sin φcos2 φ(Pa in Polarkoordinaten ohne den Nullpunkt)
Positive Radien werden für Winkel im punktierten Intervall ] 0, π [ − { π/2 } erreicht. Als Funktion in φ hat der Radius eine Polstelle bei π/2. Dem Nullpunkt werden keine Polarkoordinaten zugeordnet und er wird durch die Polarkoordinaten nicht erfasst.
Der Punkt P auf der Parabel P1 mit den Polarkoordinaten r, φ. Der Winkel φ verläuft in ] 0, π/2 [ ∪ ] π/2, π [. Der Nullpunkt hat keine Polarkoordinaten.
Varianten
Für die rotierte Parabel Pa, φ0 erhalten wir
r = (1/a) sin (φ − φ0)cos2 (φ − φ0) mit φ ∈ ] φ0, φ0 + π [ − { π/2 + φ0 }
Für φ0 = ± π/2 ergibt sich r = − (1/a) cos (φ)/sin2 (φ).
Der Parabelradius r als Funktion in φ für a = 1/2, 1, 2, 3