Polarkoordinaten für fokusierte Kegelschnitte

Seien ε ≥ 0 und ρ > 0. Wir haben gesehen, dass die Gleichung

(+) x² + y² = (ρ − ε x)²

eine fokusierte Ellipse, Hyperbel oder Parabel definiert, nämlich:

E^F₁_a, b	mit a = ρ/(1 − ε²), b = $\sqrt{ρ a}$	falls ε < 1
H^F₂_a, b	mit a = ρ/(ε² − 1), b = $\sqrt{ρ a}$	falls ε < 1
P^F_a	mit a = 1/(2ρ)	falls ε = 1

Dabei ist ε die Exzentrizität der Objekte und ρ ihr Halbachsenparameter, also ρ = b²/a für Ellipsen und Hyperbeln und ρ = 1/(2a) für Parabeln.

Die Gleichung (+) können wir nun leicht in Polarkoordinaten (r, φ) umwandeln. Mit den Umrechnungsformeln r² = x² + y² und x = r cos φ wird (+) zu

r² = (ρ − ε r cos φ)²

Folglich gilt

r = ± (ρ − ε r cos φ)

Mit ρ > 0 erhalten wir:

(1)	r = ^ρ_{1 + ε cos φ} für ein positives Vorzeichen

(2)	r = ^ρ_{ε cos φ − 1} für ein negatives Vorzeichen

Wahl und Bedeutung des Vorzeichens

Es gilt r > 0. Für ε ≤ 1 ist ε cos φ − 1 ≤ 0 für alle φ  ∈  ℝ, sodass wir das negative Vorzeichen für Ellipsen und Parabeln ausschließen können. Für Hyperbeln sind dagegen beide Vorzeichen relevant. Mit

δ = arccos(1/ε) = arctan(b/a)

gilt φ  ∈  ] − π + δ, π − δ [ für den linken und φ  ∈  ] −δ, δ [ für den rechten Ast der Hyperbel H^F₂_a, b. Auf dem ersten Intervall ist ε cos φ > −1, auf dem zweiten Intervall gilt ε cos φ > 1. Damit erhalten wir den linken Ast für ein positives Vorzeichen und den rechten für die negative Wahl.

Wir stellen die Ergebnisse (für eine positive Vorzeichenwahl) noch einmal zusammen.

Zusammenfassung

Seien ε ≥ 0 und ρ > 0. Dann definiert

(+) r = ^ρ_{1 + ε cos φ}(„Polargleichung“)

eine fokusierte Ellipse, Parabel oder einen Hyperbelast. Genauer gilt:

Ellipse

Ist ε < 1, so definiert (+) die Ellipse E^F₁_{a, b}. Es gilt a ≥ b und

ε = $\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$ , ρ = ^b²_a,

sodass

a = ^ρ_1 − ε², b = $\frac{ρ}{\sqrt{1 - ε^{2}}}$

Die Radien durchlaufen [ a(1 − ε), a (1 + ε) ], die Winkel ]−π, π ].

Parabel

Ist ε = 1, so definiert (+) die Parabel P^F_a mit

ρ = ¹_2a, sodass a = ¹_2ρ

Die Radien durchlaufen [ 1/(4a), ∞ [ , die Winkel ] − π, π [.

Hyperbel-Ast

Ist ε > 1, so definiert (+) den linken Ast der Hyperbel H^F₂_a, b. Es gilt

ε = $\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$ , ρ = ^b²_a,

sodass

a = ^ρ_ε² − 1, b = $\frac{ρ}{\sqrt{ε^{2} - 1}}$

Die Radien durchlaufen [ a (ε − 1), ∞ [ , die Winkel ] − π + δ, π − δ [ mit

δ = arccos(1/ε) = arctan(b/a)

Den rechten Ast erhalten wir durch die Gleichung r = ρ/(ε cos φ − 1) mit Radien in [ a (1 + ε), ∞ [ und Winkeln in ] −δ, δ [.

Der Punkt P auf der fokusierten Ellipse E = E^F₁_a, b, a = 5/4, b = 1, mit den Polarkoordinaten r, φ. Der rechte Fokus F₁ übernimmt die Rolle des Ursprungs.

Der Radius der fokusierten Ellipse als Funktion des Arguments φ für die Halbachsen a = 1, 11/10, 2, 3 und b = 1. Dargestellt sind zwei Perioden mit

r(φ) = ^b²/a_{1 + ε cos φ} für alle φ  ∈  ] − 2π, 2π ]

Modulo 2π werden die Maxima bei π und die Minima bei 0 erreicht. Das Minimum ist a − e > 0, das Maximum ist a + e < 2a. Im Vergleich zu den zentrischen Polarkoordinaten gibt es nur noch ein (kleineres) Minimum und ein (größeres) Maximum.

Polarkoordinaten für die fokusierte Hyperbel H = H^F₂_1, 1. Der linke Fokuspunkt F₂ befindet sich im Ursprung. Es gilt δ = π/4. Zu Winkel in ] −δ, δ [ gehören zwei Punkte von H. Das Intervall ] −δ, δ [ deckt den rechten Ast ab. Der linke Ast entspricht dem umfassenderen Intervall ] − π + δ, π − δ [.

Die Radien der vier Hyperbeln H^F₂_{a, 1} für a = 1/2, 1, 2, 3 und b = 1 (als teilweise zweiwertige Funktion im Winkel φ). Die größeren Bögen entsprechen den linken Ästen, die kleineren den rechten.

Der Punkt P mit den Polarkoordinaten (r, φ) für die fokusierte Parabel P^F₁. Der Brennpunkt F der Parabel befindet sich im Ursprung, die Winkel liegen im Intervall ] − π, π [. Dem Winkel 0 entspricht der Scheitelpunkt (1/4, 0) der Parabel.

Der Parabelradius als Funktion in φ  ∈  ] −π, π [ für die vier Parabeln P^F_a mit den Öffnungen a = 1/2, 1, 2, 3

Wir haben zur Herleitung der Polargleichung die universelle kartesische Gleichung für fokusierte Kegelschnitte verwendet, wodurch die Gleichung fast schon dasteht. Wer eine direkte Herleitung bevorzugt, kann so vorgehen:

Direkte Herleitung der Polargleichung

(1)

Seien a ≥ b > 0. Wir formen die Gleichung

b² (x + e)² + a² y² = a² b²(E^F₁_a, b in kartesischen Koordinaten)

mit x = r cos φ, y = r sin φ äquivalent um:

b² (r cos φ + e)² + a² r² sin² φ = a² b²

b² (r² cos² φ + 2 r e cos φ + e²) + a² r² (1 − cos² φ) = a² b²

a² r² = (a² − e²)  b² − 2 b² e r cos φ + (a² − b²) r² cos² φ

a² r² = b⁴ − 2 b² e r cos φ r + e² r² cos² φ

a² r² = (b² − e r cos φ)²

r = ρ − ε r cos φ (mit ε = e/a und ρ = b²/a)

r = ^ρ_{1 + ε cos φ} (E^F₁_a, b in Polarkoordinaten)

Durch die Sammlung der Terme auf der rechten Seite vermeiden wir den Einsatz der Lösungsformel für quadratische Gleichungen. Im vorletzten Schritt ist nur das positive Vorzeichen möglich, da r > 0 und

b² − e r cos φ ≥ b² − e (a − e) = a² − e a > 0

(2)	Analog lässt sich eine Hyperbelgleichung b² (x − e)² − a² y² = a² b²(H^F₂_a, b in kartesischen Koordinaten) äquivalent umformen in r = ± (ρ − ε r cos φ )(H^F₂_a, b in Polarkoordinaten) Wie oben liefert „+“ den linken und „−“ den rechten Ast der Hyperbel.

(3)	Eine Parabelgleichung x − 1/(4a) + a y² = 0(P^F_a in kartesischen Koordinaten) wird mit ähnlichen Methoden übersetzt in die Gleichung r = cos(φ) r − 1/(2a), wobei wie bei den Ellipsen nur das positive Vorzeichen möglich ist. Mit ε = 1 und ρ = 1/(2a) erhalten wir erneut die Polargleichung.

Die fokusierte Form der Polarkoordinaten ist auch in der Physik von großem Interesse: Bei den Keplerschen Gesetzen befindet sich die Sonne in einem Brennpunkt der Ellipsenbahnen der Planeten. Wir werden fokusierten Kegelschnitten und der Polargleichung bei der Diskussion der Keplerschen Gesetze wieder begegnen.

Wir können die Polargleichung auch in der Form

(1 + ε cos φ) r = ρ

angeben. In dieser Form erscheint 1 + ε cos φ als winkelabhängige Skalierung des Radius. Die Größe ε cos φ gibt die Abweichung vom Halbachsenparameter ρ an. Es gilt |ε cos φ| ≤ ε für alle φ. Für ε = 1/10 ergibt sich also eine maximale Abweichung von 10% zum Halbachsenparameter. Für Ellipsen mit kleiner Exzentrizität erscheint ρ als „Grundradius“, der winkelabhängig etwas über- und unterschritten wird. Er wird an den Nullstellen des Kosinus exakt angenommen.