Polygone am Einheitskreis

Sei π die Fläche des Einheitskreises K₁, mit einer für dieses Kapitel zunächst noch unbekannten Größe π. Für jedes n ≥ 3 seien A_n und B_n die Flächeninhalte eines regelmäßigen n-Ecks, das in K₁ einbeschrieben ist bzw. ihn umschließt. Diese Polygone entstehen durch n gleichmäßig auf K₁ verteilte Punkte. Verbinden wir die Punkte, so erhalten wir ein regelmäßiges einbeschriebenes n-Eck. Legen wir Tangenten an die Punkte an, so ergeben die Schnittpunkte dieser Tangenten ein regelmäßiges umschließendes n-Eck. Es gilt A_n < π < B_n, sodass der Fehler π − A_n der inneren und der Fehler B_n − π der äußeren Approximation jeweils durch B_n − A_n beschränkt sind. Aus lim_n B_n − A_n = 0 ergibt sich

π = lim_n A_n (monoton steigend), π = lim_n B_n (monoton fallend)

Für n = 3 besteht die Approximation aus einem inneren und einem äußeren gleichseitigen Dreieck. Im Fall n = 6 erhalten wir Hexagone, die in gleichseitige Dreiecke zerfallen. Allgemein zerfallen die Polygone in gleichschenklige Dreiecke.

Der Einheitskreis K₁ und zwei regelmäßige Sechsecke. Die Ecken des inneren Sechsecks sind die Schnittpunkte des äußeren Sechsecks mit K₁ (tangentiale Konstruktion).

Alternativ können wir das zweite Sechseck durch Skalierung aus dem ersten erhalten (Skalierungskonstruktion). Die Skalierung von innen nach außen hat den Faktor 2/ $\sqrt{3}$ . Von außen nach innen gelangen wir entsprechend mit dem Faktor $\sqrt{3}$ /2.

Der Fehler der Approximation konvergiert gegen 0, wenn n gegen unendlich strebt. Er ist für jedes n ≥ 3 beschränkt durch die Fläche eines Kreisrings um K₁, der sich für n → ∞ auf K₁ zusammenzieht (im Diagramm gestrichelt für n = 7). Genauer sind die Fehler π − A_n und B_n − π für jedes n kleiner als die Fläche B_n − A_n von n Trapezen, die durch die Differenz der äußeren und inneren Dreiecke gegeben sind.

Für ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge a gilt:

Höhe h: a $\sqrt{3}$ /2 Fläche: a² $\sqrt{3}$ /4

Damit erhalten wir die folgenden Werte für n = 3 und n = 6:

A₃ = 3  $\sqrt{3}$ /4 (h = 3/2, a = $\sqrt{3}$ )	A₆ = 6 $\sqrt{3}$ /4 = 3 $\sqrt{3}$ /2 (h = $\sqrt{3}$ /2, a = 1)
B₃ = 3 $\sqrt{3}$ (h = 3, a = 2 $\sqrt{3}$ )	B₆ = 6 $\sqrt{3}$ /3 = 2 $\sqrt{3}$ (h = 1, a = 2/ $\sqrt{3}$ )

Wir entwickeln nun Formeln zur Berechnung von A₁₂, B₁₂, A₂₄, B₂₄, … Hierzu betrachten wir allgemein den Übergang von einem n-Eck zu einem (2n)-Eck. Dabei tauchen zwei klassische Mittel für reelle Zahlen a, b > 0 auf:

G(a, b) = $\sqrt{a b}$ (geometrisches Mittel)

H(a, b) = ²_1/a + 1/b = ^2 a b_a + b(harmonisches Mittel)

Das geometrische Mittel ist die Seitenlänge eines Quadrats mit dem Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seiten a und b: G(a, b)² = a b. Das harmonische Mittel ist das Inverse des arithmetischen Mittels der Inversen von a und b, d.h. es gilt H(a, b) = ((1/a + 1/b)/2)⁻¹. Es gilt H(a, b) ≤ G(a, b) ≤ (a + b)/2 für alle a, b > 0.

Nach diesen Vorbereitungen betrachten wir die folgende Figur:

Ausschnitt eines ein- und umschließenden regelmäßigen n-Ecks am Einheitskreis. Der Winkel φ ist ein n-tel des Kreisumfangs. Wir untersuchen zuerst den Übergang zum einbeschriebenen (2n)-Eck (rot, mit dem neuen Eckpunkt F).

Nach dem Strahlensatz (mit ME = ME/1 = ME/MF) gilt:

(+) ME = ^AB_CD

Wir berechnen Dreiecksflächen nach „1/2 Grundfläche mal Höhe“:

(1)	A_n = n MAB = n ^{AB ME}₂ =₍₊₎ n ^AB²_{2 CD}

(2)	B_n = n MCD = n ^CD₂

(3)	^A_n_{B_n} = ^AB²_CD² = ME²

(4)	A_n B_n = n² ^AB²₄ = (n AB/2)²

(5)	A_2n = 2n MAF = 2n ^{1 · AB/2}₂ = n AB/2 = $\sqrt{A_{n} B_{n}}$

(6)	^AB_CD = ME = $\frac{\sqrt{A_{n}}}{\sqrt{B_{n}}}$ = $\frac{\sqrt{A_{n} B_{n}}}{B_{n}}$ = ^A_2n_{B_n}

Nach (5) ist A_2n das geometrische Mittel von A_n und B_n. Eine analoge Überlegung liefert eine Formel für B_2n. Hierzu verwenden wir:

Übergang zum umschließenden (2n)-Eck (grün), mit den neuen Tangentialpunkten A und B und neuen Eckpunkten G und G′. Die alten Eckpunkte C und D verschwinden.

Nach dem Strahlensatz (mit MC = MC/1 = MC/MA) und (6) gilt:

(+) 1 + AC = MC = ^CD_AB = ^B_n_{A_2n}

Das Drachenviereck MAGF hat den Inhalt AG (mit MA = 1). Wir erhalten:

(6)	B_2n = 2 n MAGF = 2 n AG

(7)	B_n − B_2n = 2n ACG = n AG AC = ^{B_2n AC}₂

(8)	B_2n = ^2 B_n_2 + AC = ^2 B_n_{1 + AC + 1} = ₍₊₎ ^2 B_n_{B_n/A_2n + 1} = ²_{1/A_2n + 1/B_n}

Damit ist B_2n das harmonische Mittel von A_2n und B_n. Insgesamt erhalten wir:

Rekursionsformeln zur Flächenberechnung des Einheitskreises

A₃ = 3 $\sqrt{3}$ /4	B₃ = 3 $\sqrt{3}$
A₆ = 3/2 $\sqrt{3}$	B₆ = 2 $\sqrt{3}$
A_2n = G(A_n, B_n)	B_2n = H(A_2n, B_n) für alle n ≥ 3

Numerische Berechnung

Gerundet gilt A₃ = 1,29904, B₃ = 5,19615. Eine Computerberechnung liefert für A₆, B₆, A₁₂, B₁₂, A₂₄, B₂₄, … die gerundeten Werte:

n	1	2	3	4	5
A_{2ⁿ 3}	2,59808	3	3,10583	3,13263	3,13935
B_{2ⁿ 3}	3,4641	3,21539	3,15966	3,14609	3,14271

n	6	7	8	9	10
A_{2ⁿ 3}	3,14103	3,14145	3,14156	3,14158	3,141590
B_{2ⁿ 3}	3,14187	3,14166	3,14161	3,1416	3,141594

Die ersten fünf Stellen sind exakt. Genauer gilt

π = 3,14159265358979323846264338327950288419716939937510…

mit 50 exakten Nachkommastellen.