Kreisumfang und Kreisfläche
Der Zusammenhang zwischen der Fläche π und dem Umfang U des Einheitskreises lässt sich durch eine Zerlegung von K1 in Kreissektoren ans Licht bringen. Die parallelogrammartige Anordnung der Sektoren wird im Limes zu einem Rechteck der Höhe 1 und Breite U/2, sodass π = U/2 und U = 2π. Die folgenden Diagramme visualisieren die Konstruktion.
Zerlegung des Einheitskreises in 4, 8, 16 und 64 kongruente Sektoren
Die Formel 2 π für den Umfang von K1 ergibt sich auch unmittelbar aus den trigonometrischen Formeln der Polygon-Approximation. Für einen Kreissektor mit Winkel φ wie im obigen Diagramm gilt für die inneren und äußeren Dreiecke:
| Fläche AMB = sφ = sin(φ)/2 | Sehnenlänge AB = sin φ |
| Fläche CMD = Sφ = tan(φ/2) | Tangentenlänge CD = 2 ED = 2 tan(φ/2) |
Damit ist der Umfang des inneren und des äußeren Polygons jeweils das Doppelte seiner Fläche. Für den Umfang U von K1 als Limes der inneren bzw. äußeren Polygon-Umfänge gilt daher U = 2π.
Schließlich halten wir fest:
Fläche und Umfang eines Kreises mit Radius r
Für alle r > 0 hat der Kreis Kr mit Radius r die Fläche r2 π und den Umfang 2 r π. Denn die Kr approximierenden Polygone sind im Vergleich zu K1 um den Faktor r skaliert. Für Flächen führt dies zu einer Multiplikation mit r2, für Linien zu einer Multiplikation mit r.