Sektorflächen von Hyperbeln
Mit Hilfe des Hyperbel-Integrals können wir die Area-Funktionen geometrisch als Flächen interpretieren (und damit die Namensgebung motivieren). Wir betrachten hierzu die Standardparametrisierung g : ℝ → ℝ2 mit
g(t) = (x(t), y(t)) = (a cosh t, b sinh t) für alle t ∈ ℝ
des rechten Astes einer Hyperbel Ha, b. Ist t0 ≥ 0 beliebig und
P0 = (x0, y0) = (a cosh t0, b sinh t0)
der zugehörige Punkt auf der Hyperbel Ha, b, so ergibt das Integral (+) für die obere Grenze y0 = b sinh t0 die Fläche
| ar(t0) | = a sinh t0 + a b arsinh(sinh t0) |
| = a b sinh t0 + a b t0 | |
| = a b (sinh t0 + t0)(cosh t0 ≥ 0) | |
| = a b (sinh t0 cosh t0 + t0) |
Diese Formel wird einfacher, wenn wir die überstrichene Fläche der Kurve g(t) im Zeitintervall [ −t0, t0 ] betrachten, also einen Hyperbelsektor. Hierzu müssen wir von der Integral-Fläche ar(t0) zwei Dreiecksflächen abziehen, nämlich die Flächen der kongruenten Dreiecke 0 (0, y0) P0 und 0 (0, −y0) (x0, −y0). Diese Dreiecke haben jeweils die Fläche
1/2 x0 y0 = a b/2 cosh t0 sinh t0.
Damit berechnet sich die von der Kurve g im Intervall [ −t0, t0 ] überstrichene Fläche zu
arg(t0) = ar(t0) − a b cosh t0 sinh t0 = a b t0
Für die Einheitshyperbel H1, 1 ergibt sich einfach t0. Damit haben wir gezeigt:
Überstrichene Fläche der Hyperbel-Parametrisierung
Die Parametrisierung g(t) = (cosh t, sinh t) von H1,1 überstreicht in der Zeit [ −t0, t0 ] die Fläche t0. Für Ha, b ergibt sich die Fläche a b t0.
Dies gilt in Analogie zum Kreis:
Überstrichene Fläche der Kreis-Parametrisierung
Die Parametrisierung g(t) = (cos t, sin t) von K1 überstreicht in der Zeit [ −t0, t0 ] die Fläche t0. Für Kr ergibt sich die Fläche r2 t0.
Die überstrichene Fläche ist im Kreisfall ein Sektor mit dem Winkel 2 t0 (mit Mehrfachzählungen für t0 > π).
Die Rolle der Area-Funktionen wird in folgender Umformulierung deutlich:
Die Area-Funktionen als Flächenmess-Funktionen
Die hyperbolischen Areafunktionen sind „Flächenmesser“: Liegen die Punkte P = (x, y) und Q = (x, −y), y ≥ 0, auf dem rechten Ast von H1,1, so ist
A = arcosh(x) = arsinh(y)
der Inhalt des durch 0, P, Q definierten Hyperbelsektors. Denn wir können P in der Form P = (cosh t0, sinh t0) für ein t0 ≥ 0 schreiben. Dann ist
arcosh x = arcosh(cosh t0) = t0, arsinh y = arsinh(sinh t0) = t0,
und nach obiger Überlegung gilt t0 = A. Analoges gilt für die Arkus-Funktionen, wobei diese eher als „Bogenmesser“ interpretiert werden: Ist P = (x, y) ∈ K1 im ersten Quadranten, so ist φ = arccos x = arcsin y die durch P definierte Bogenlänge des Einheitskreises.
Für P = (x0, y0) = (cosh t0, sinh t0) ist t0 = arcosh x0 = arsinh y0 die Fläche des durch P definierten Hyperbelsektors. Im Diagramm ist t0 = 1/2, sodass die beiden gelben Flächen jeweils den Inhalt 1/4 besitzen. Numerisch ist x0 ∼ 1,13, y0 ∼ 0,52.