Längen von Hyperbelbögen

Wie zu erwarten reichen die elementaren Funktion nicht aus, um die Länge eines Hyperbelbogens zu berechnen:

Berechnung des Hyperbel-Bogen-Integrals

Seien a, b > 0, und sei g : ℝ → ℝ² mit g(t) = (a cosh t, b sinh t) für alle t die Standardparametrisierung des rechten Astes der Hyperbel H_a, b. Es gilt

∥ g′(t) ∥²	= a² cosh² t + b² sinh² t
	= a² cosh² − a² sinh² t + a² sinh² + b² sinh² t
	= a² − (a² + b²) sinh² t = a² (1 + ε² sinh² t)

mit der numerischen Exzentrizität

ε = $\sqrt{1 + (b / a)^{2}}$ > 1

Damit gilt also für alle t₀  ∈  ℝ:

L(g|[ 0, t]) = a ∫^s₀ $\sqrt{1 + ε^{2} {sinh}^{2} s}$ ds(Länge eines Hyperbelbogens)

Das Integral ist wie sein elliptischen Analogon nicht mehr elementar.

L(g|[ 0, t]) = ∫^s₀ $\sqrt{1 + ε^{2} {sinh}^{2} s}$ ds auf [ −2, 2 ] für einige ε sowie sinh t (gestrichelt)