Die Krümmung einer Hyperbel

 Seien a, b > gegeben. Wir parametrisieren den rechten Ast der Hyperbel H_a, b durch f : ℝ → ℝ² mit

f (t)  =  (a cosh t, b sinh t),  f ′(t)  =  (a sinh t, b cosh t),  f ″(t)  =  f (t)

Sei nun t  ∈  ℝ. Dann gilt:

c  =  ∥ f ′(t) ∥  =  $\sqrt{{\mathrm{a}}^2{\text{sinh}}^2\mathrm{t}+{\mathrm{b}}^2{\text{cosh}}^2\mathrm{t}}$

det(f ′(t), f ″(t))  =  a b sin² t  −  a b cos² t  =  − a b

k_f(t)  =  − a b/c³ (Krümmung von H_a, b an der Stelle (a cosh t, b sinh t))

Das negative Vorzeichen entspricht der Rechtskrümmung der Parametrisierung des Hyperbel-Astes. Mit Hilfe der Identität cosh² t −sinh² t = 1 anstelle des Satzes von Pythagoras erhalten wir analog zu den Ellipsen den Mittelpunkt:

M_f(t)  =  ( ^{(a2 + b2) cosh3(t)}_a,  − ^{(a2 + b2) sinh3(t)}_b )