Die Krümmung einer Parabel
Wir führen die Berechnungen schließlich auch noch für eine Parabel Pa der Öffnung a durch. Dabei parametrisieren wir Pa durch f : ℝ → ℝ2 mit
f (t) = (t, a t2), f ′(t) = (1, 2a t), f ″(t) = (0, 2a)
Sei t ∈ ℝ. Dann gilt:
c = ∥ f ′(t) ∥ =
det(f ′(t), f ″(t)) = 2a
kf(t) = 2 a/c3 (Krümmung von Pa an der Stelle (t, a t2))
Für den Mittelpunkt erhalten wir:
| Mf(t) | = f (t) + ∥ f ′(t) ∥2det(f ′(t), f ″(t)) (−f2′(t), f1′(t)) |
| = 12a ( 2 a f (t) + c2 (−2a t, 1) ) | |
| = 12a ( 2 a t (1 − c2), 2 a2 t2 + c2) ) | |
| = 12a ( − 8 a3 t3, 1 + 6 a2 t2) |
Eine einfachere Formel liefert die Parametrisierung h : ℝ → ℝ2 von Pa mit
h(s) = 1/(4a) (2s, s2)
h′(s) = 1/(2a) (1, s)
h″(s) = 1/(2a) (0, 1)
Hier gilt:
c = ∥ h′(s) ∥ = (1/2a)
det(h′(s), h″(s)) = 1/(4a2)
kh(s) = (Krümmung von Pa an der Stelle 1/(4a) (2s, s2))
Mh(s) = 14a (−2 s3, 2 + 3 s2)
Setzen wir hier s = 2a t, so erhalten wir Mf(t).
Krümmungskreise und Evolute für die Parabel P1 mit der Parametrisierung f (t) = (t, t2) auf [ −2, 2 ] und den Zeiten tk = k/8 für k = 0, …, 8.
Erwähnenswert ist vielleicht:
Unabhängigkeit der Diagramme von der Parametrisierung
Die sich farblich entsprechenden Punkte der obigen Abbildungen sind stets unabhängig von der Parametrisierung der Kurve. Die Parametrisierungen werden lediglich verwendet, um einige konkrete Punkte auf den Ellipsen, Hyperbeln oder Parabeln zu definieren, für die die zugehörigen Mittelpunkte der Krümmungskreise berechnet werden. Die Punkte auf den Kurven werden für andere Parametrisierungen lediglich zu anderen Zeiten erreicht.
Wir betrachten schließlich noch den Verlauf der signierten Krümmungsfunktion k für einige Ellipsen, Hyperbeln und Parabeln. Die verwendeten Parametrisierungen entsprechen denen der obigen Diagramme.
Die Krümmung k(t) für einige Ellipsen Ea, 1 bzgl. f (t) = (a cos t, b sin t), b = 1
Analog k(t) für einige Hyperbeln Ha, 1 bzgl. f (t) = (a cosh t, b sinh t), b = 1
Schließlich für einige Parabeln Pa bzgl. f (t) = (t, a t2)