Rekonstruktion der Ellipsengleichung

Wir haben mit Hilfe des Rotationssatzes gezeigt, dass A[ K ] eine Ellipse der Form E_{σ₁, σ₂, φ} ist und wir haben die Parameter der Ellipse berechnet. Es ist instruktiv und für weitere Beweise des Ellipsen-Satzes sehr nützlich, dass wir die algebraische Gleichung von E_{σ₁, σ₂, φ} aus den Parametern gewinnen können. Ohne Verwendung der obigen Ergebnisse zeigen wir:

Satz (Rekonstruktionssatz)

Sei A = ((a, b), (c, d)) invertierbar, und seien q, r sowie λ, λ_1,2, σ_1,2, φ die durch A definierten Parameter. Weiter seien u₁ = cos φ, u₂ = sin φ. Dann haben die Gleichungen

(c² + d²)x² − 2(ac + bd) x y + (a² + b²)y² = det(A)²

(λ₁u₂² + λ₂u₁²) x² − 2(λ₁ − λ₂)u₁u₂ x y + (λ₁u₁² + λ₂u₂²) y² = λ₁ λ₂

übereinstimmende Koeffizienten und zudem übereinstimmende rechte Seiten. Insbesondere gilt

A[ K ] = E_{σ₁, σ₂, φ}

Beweis

Für die rechten Seiten gilt

det(A)² = r² − λ² = (r + λ) (r − λ) = λ₁ λ₂

Für die Koeffizienten verwenden wir:

(cos φ, sin φ) = σ₁⁻¹ h₁ = ( $\sqrt{2 λ}$ )⁻¹ ( $\sqrt{λ + q_{1}}$ , θ $\sqrt{λ - q_{1}}$ )

Dann gilt

cos² φ − sin² φ = cos(2φ) = q̂₁ = q₁/λ

cos φ sin φ = sin(2φ)/2 = q̂₂/2 = q₂/(2λ)

Damit erhalten wir

λ₁ sin² φ + λ₂ cos² φ	= (r + λ) sin² φ + (r − λ) cos² φ
	= r (sin² φ + cos² φ) − λ (cos² φ − sin²φ)
	= r − q₁ = c² + d²

λ₁ cos² φ + λ₂ sin² φ	= (r + λ) cos² φ + (r − λ) sin² φ
	= r (cos² φ + sin² φ) + λ (cos² φ − sin² φ)
	= r + q₁ = a² + b²

(λ₁ − λ₂) cos φ sin φ

= (2λ) q₂/(2λ) = q₂ = ac + bd

Die Definition der fundamentalen Größen

q = (q₁, q₂) = (^{a² + b² − c² − d²}₂, ac + bd)

r = ^{a² + b² + c² + d²}₂

und der daraus abgeleiteten Skalare λ, λ_1,2 , s_1,2, φ, e und Vektoren h₁, h₂ löst unsere Aufgabe, zu einer gegebenen invertierbaren Matrix A = ((a, b), (c, d)) Werte σ₁, σ₂, φ zu berechnen mit

A[ K ] = E_{σ₁, σ₂,  φ}

In den Beweis des Rekonstruktionssatzes gehen nur die Definitionen der Ellipsen-Parameter ein. Für künftige Beweises gilt damit:

Wir haben den Satz über Matrix-Ellipsen (und die Beschreibung der Ellipse) bewiesen, sobald wir die Parameter r und q gefunden haben.