Das Bild des Einheitskreises als Kurve

Wir betrachten die Kurven f, g₁, g₂ : [ 0, 2π] → ℝ² mit:

f (t) = (cos(t), sin(t))(Kreisparametrisierung)

g₁(t) = A f (t)(erste Parametrisierung von E)

g₂(t) = ∥ A⁻¹ f (t) ∥⁻¹ f (t)(zweite Parametrisierung von E)

für alle t  ∈  [ 0, 2π ]. Die Kurven f und g₁ hatten wir als „Standardparametrisierungen“ schon öfters verwendet. Wir wiederholen noch einmal ihre wichtigsten Eigenschaften.

Die Kreisparametrisierung

Die Kurve f durchläuft den Einheitskreis K in der Zeit [ 0, 2π ] gegen den Uhrzeigersinn mit gleichmäßiger Geschwindigkeit mit Start- und Endpunkt bei e₁ = (1, 0). Für alle t gilt f ′(t) = (−sin t, cos t) und ∥ f ′(t) ∥ = 1. Für alle t hat f (t) den Winkel t im Bogenmaß, d. h. es gilt f (t) = (1, t)_polar in Polarkoordinaten.

Die erste Parametrisierung von E

Die Kurve g₁ durchläuft E = A[ K ] mit Start- und Endpunkt bei A e₁ = (a, c). Das Vorzeichen der Determinante von A bestimmt die Umlaufrichtung. Es gilt

g₁(t) = $( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} )$ $( \begin{matrix} cos t \\ sin t \end{matrix} )$ = $( \begin{matrix} a cos t & b sin t \\ c cos t & d sin t \end{matrix} )$ für alle t  ∈  [ 0, 2π ]

Die erste Parametrisierung g₁ für die Matrix A = 1/2 ((3, −7), (5, 1)). Gezeigt sind zudem die Punkte g₁(t) für t = 0, π/2, π, 3π/2. Die durch den Farbkreis K markierte Farbe von t entspricht der Farbe des Kurvenpunktes f (t).

Die zweite Parametrisierung von E

Um die zweite Parametrisierung zu beschreiben, beginnen wir mit einigen allgemeinen Überlegungen. Sei hierzu v  ∈  ℝ² mit v ≠ 0. Dann ist

pr_K(v) = v̂ = ^v_∥v∥

die zentrische Projektion von v auf den Einheitskreis K. Allgemeiner ist

pr_E(v) = ^v_{∥ A⁻¹ v ∥}

die zentrische Projektion von v auf E = A[ K ]. Der Vektor pr_E(v) ist das eindeutige v*  ∈  E derart, dass arg(v*) = arg(v), d. h. es gilt v = λ v* für ein λ > 0.

Beweis hierzu

Ist w = A⁻¹pr_E(v), so gilt ∥w∥ = 1, sodass w  ∈  K und pr_E(v) = Aw  ∈  E. Aus der Injektivität von A ergibt sich die Eindeutigkeit: Sind w₁, w₂  ∈  K verschieden, so gilt arg(Aw₁) ≠ arg(Aw₂), da sonst A(λ w₁) = λ A w₁ = A w₂ für λ = ∥ A w₂ ∥ ∥ A w₁ ∥⁻¹.

Für alle v gilt:

pr_E(Av) = ^Av_{∥ A⁻¹ A v ∥} = ^Av_{∥ v ∥} = A v̂ = A(pr_K(v))

Die zweite Parametrisierung ist nun die Kurve pr_E ∘ f:

g₂(t) = ∥ A⁻¹f (t) ∥⁻¹ f (t) = pr_E(f (t)) für alle t  ∈  [ 0, 2π ].

Der Punkt g₂(t) ist der Punkt auf E, den wir sehen, wenn wir vom Nullpunkt aus in Richtung f (t) blicken. Wir fassen zusammen:

Satz (Projektionseigenschaft der zweiten Parametrisierung)

Sei t  ∈  [ 0, 2π ]. Dann ist g₂(t) der eindeutige Punkt von E mit dem Winkel t. Es gilt ∥ g₂(t) ∥ = ∥ A⁻¹f (t) ∥⁻¹.

Die zweite Parametrisierung g₂ für A = 1/2 ((3, −7), (5, 1)). Die Farbe von t entspricht wieder der Farbe von f (t). Zudem haben t und g₂(t) das gleiche Argument.

Nach diesen Vorbereitungen können wir nun den Satz über Matrix-Ellipsen neu beweisen:

Strategie des Beweises

Wir vermuten, dass E = A [ K ] eine Ellipse ist. Ist dies der Fall und hat E unterschiedlich lange Halbachsen, so haben die Längenfunktionen ∥ g₁(t) ∥ und ∥ g₂(t) ∥ der beiden Parametrisierungen in [ 0, 2π [ jeweils genau vier lokale Extrema. Sie werden angenommen, wenn g₁(t) bzw. g₂(t) die Halbachsenvektoren von E erreicht. Mit Hilfe der Ableitungen von ∥ g₁(t) ∥ und ∥ g₂(t) ∥ können wir diese Extrema ermitteln (letztendlich mit Methoden der Schulmathematik). Danach zeigen wir, dass E tatsächlich eine Ellipse ist. Dabei erweist sich die Parametrisierung g₂ als einfacher, da sie uns den Drehwinkel der Ellipse direkt liefert. Um Wurzeln zu vermeiden, berechnen wir Normquadrate und ihre Ableitungen.