Spiegelung an einer Achse

Für alle α  ∈  ℝ beschreibt

mir_α = $( \begin{matrix} cos α & sin α \\ sin α & - cos α \end{matrix} )$

die Spiegelung an der Geraden G durch den Nullpunkt, die mit der x-Achse den Winkel α/2 einschließt. Für eine Matrix A = ((a, b), (c, d)) gilt

mir_α A = $( \begin{matrix} cos α & sin α \\ sin α & - cos α \end{matrix} )$ $( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} )$ = $( \begin{matrix} a cos α + c sin α & b cos α + d sin α \\ a sin α - c cos α & b sin α - d cos α \end{matrix} )$

Seien nun A invertierbar, α  ∈  ]− π, π ] und B = B_α = mir_α A.

Erste algebraische Gleichung

Das Bild A[ K ] wird definiert durch die algebraische Gleichung

(c² + d²) x² − 2(ac + bd) x y + (a² + b²) y² = det(A)

Äquivalent mit den üblichen Bezeichnungen formuliert:

(r − q₁) x² − 2q₂ x y + (r + q₁) y² = det(A)

Zweite algebraische Gleichung

Die Koeffizienten der algebraischen Gleichung von B[ K ] berechnen sich zu:

für x²:	(c² + d²) cos² α − 2(a c + b d) cos α sin α + (a² + b²) sin² α
für x y:	2 (a c + b d) (cos² α − sin² α) − 2 (a² + b² − c² − d²) cos α sin α
für y²:	(a² + b²) cos² α + 2(a c + b d) cos α sin α + (c² + d²) sin² α

Äquivalent formuliert:

für x²:	(r − q₁) cos² α − 2q₂ cos α sin α + (r + q₁) sin² α
für x y:	2 q₂ (cos² α − sin² α) − 4q₁ cos α sin α
für y²:	(r + q₁) cos² α + 2q₂ cos α sin α + (r − q₁) sin² α

Wegen det(B) = − det(A) bleibt die rechte Seite für B[ K ] gleich. Wir ermitteln nun die Winkel α, für die A[ K ] = B[ K ] gilt:

Koeffizientenvergleich

Ein Vergleich der Koeffizienten der Gleichungen von A[ K ] und B[ K ] liefert:

(1)	(r − q₁) cos² α − 2 q₂ cos α sin α + (r + q₁) sin² α = r − q₁
(2)	q₂ (cos² α − sin² α) − 2 q₁ cos α sin α = − q₂
(3)	(r + q₁) cos² α + 2 q₂ cos α sin α + (r − q₁) sin² α = r + q₁

Mit Hilfe des Satzes von Pythagoras erhalten wir:

(1)	sin α (q₁ sin α − q₂ cos α) = 0
(2)	cos α (q₂ cos α − q₁ sin α) = 0
(3)	− sin α (q₁ sin α − q₂ cos α) = 0

Lösung des Gleichungssystems

Ist q = 0, so ist jedes α eine Lösung (Kreisfall). Sei also q ≠ 0. Dann sind die drei Gleichungen äquivalent zur einen Gleichung

q₁ sin α − q₂ cos α = 0.

Dies ist genau dann der Fall, wenn (cos α, sin α) und (q₁, q₂) kollinear sind, d. h. wenn α = arg(q) oder α = arg(q) + π.

Für q ≠ 0 sind also die Spiegelungsachsen mit A[ K ] = B[ K ] durch

arg(q)/2  ∈  ] −π/2, π/2 [ und arg(q)/2 + π/2

gegeben. Damit haben wir die Drehwinkel wiedergefunden.

Illustration der Spiegelung für A = 1/2 ((3, −7), (5, 1)). Die Spiegelung von E = A[ K ] an der Geraden G = span(v) für v = (2, 3/2) erzeugt E′.

Wie oben für v = (2, 1). Die gespiegelte Ellipse E′ ist im Diagramm kaum mehr von E zu unterscheiden. Der Spiegelungswinkel liegt nahe bei der Halbachse. Es gilt

arg(2, 1) = arctan(1/2) = 0,4636…, arg(φ) = arg(q/2) = 1/2 arctan(11/8) = 0,4710…

Bemerkung

Aus dem Gleichungssystem können wir zudem direkt ablesen, dass modulo 2π gilt:

(a)	α = 0 und α = π sind genau dann Lösungen, wenn q₂ = 0.

(b)	α = π/2 und α = −π/2 sind genau dann Lösungen, wenn q₁ = 0.

Der Fall (a) entspricht einer Spiegelung an der x- bzw. y-Achse (achsenparalleler Fall). Der Fall (b) beschreibt eine Spiegelung an der ersten bzw. zweiten Winkelhalbierenden.