Lösung des Gleichungssystems
Die Gleichung (◇) involviert vier Größen σ, φ, x0, y0, die wir mit Hilfe der Matrix-Einträge a, b, c, d so definieren müssen, dass die Gleichungen bis auf einen Faktor übereinstimmen. Wir berechnen zunächst für (◇):
Koeffizienten der Gleichung
x2: u12 x y: 2 u1 u2 y2: u22
x: u2/σ − 2 u12 x0 − 2 u1 u2 y0
y: − u1/σ − 2 u22 y0 − 2 u1 u2 x0
konstanter Term: − u2 x0/σ + u1 y0/σ + u12 x02 + u22 y02 + 2 u1 u2 x0 y0
Die Achsenrichtung e2 der Einheitsparabel wird durch A auf A e2 = (b, d) abgebildet. Damit ist anschaulich klar, dass die zweite Spalte (b, d) von A für den Drehwinkel der Parabel verantwortlich ist, den wir gegen den Uhrzeigersinn bzgl. der y-Achse messen. Wir setzen
r = ∥ (b, d) ∥ > 0
und definieren φ ∈ ] −π, π ] durch
(b, d) = r (−sin φ, cos φ),
sodass φ der orientierte Winkel zwischen e2 = (0, 1) und A e2 = (b, d) ist. Es gilt
b = − r u2, d = r u1
und damit:
(+) d2 = r2 u12, −2bd = 2r2u1 u2, b2 = r2u22
Wir zeigen nun durch Koeffizientenvergleich, dass (#) mit geeignet definierten Werten σ, x0, y0 das r2-fache der Gleichung (◇) ist. Nach (+) ist dies für den quadratischen Anteil der beiden Gleichungen bereits klar. Der Koeffizientenvergleich für x und y und den binomisch verkürzten konstanten Term ergibt das folgende System in den Unbekannten σ, x0, y0.
Gleichungssystem (Version 1)
| (I) | δ c = r2 (u2/σ − 2u12 x0 − 2u1u2 y0) |
| (II) | δ a = r2 (u1/σ + 2u22 y0 + 2u1u2 x0) |
| (III) | 0 = −u2x0/σ + u1y0/σ + (u1 x0 + u2 y0)2 |
Mit u1 = d/r, u2 = − b/r erhalten wir:
Gleichungssystem (Version 2)
| (I)′ | δ c = − r b/σ − 2d2 x0 + 2bd y0 |
| (II)′ | δ a = r d/σ + 2b2 y0 − 2bd x0 |
| (III)′ | r b x0/σ + r dy0/σ = − (dx0 − b y0)2 |
Die Lösung des Systems wird vereinfacht, wenn wir folgender Strategie folgen:
Lösungsstrategie
Um Fallunterscheidungen zu vermeiden, dividieren wir niemals durch a, b, c, d. Stattdessen erzeugen wir die von Null verschiedenen Größen r2 = b2 + d2 und δ = ad − bc, um das System nach σ, x0, y0 aufzulösen.
Wir multiplizieren (I)′ mit b und (II)′ mit d:
δ b c = − r b2/σ − 2bd2 x0 + 2b2d y0
δ a d = r d2/σ + 2b2d y0 − 2bd2 x0
Durch Subtraktion der ersten von der zweiten Gleichung erhalten wir
δ (ad − bc) = r(b2 + d2)/σ
Damit haben wir die Öffnung σ gefunden:
(1) σ = r3/δ2 > 0
Einsetzen von σ in unsere Gleichungen liefert:
Gleichungssystem (Version 3)
| (I)* | δ c = − δ2 b/r2 − 2d2 x0 + 2bd y0 |
| (II)* | δ a = δ2d/r2 + 2b2 y0 − 2bd x0 |
| (III)* | bx0 + dy0 = − r2 (d x0 − b y0)2/δ2 |
Nun multiplizieren wir (I)* mit d und (II)* mit b:
δ d c = − δ2 b d/r2 − 2d3 x0 + 2bd2 y0
δ b a = δ2 b d/r2 + 2b3 y0 − 2b2d x0
Die Addition der beiden Gleichungen ergibt:
δ(a b + c d) = 2y0b (b2 + d2) − 2x0 d (b2 + d2) = 2r2(b y0 − d x0)
Damit haben wir:
(2) b y0 − d x0 = δ (ab + cd)/(2r2)
Einsetzen von (2) in die rechte Seite der Gleichung (III)* liefert
(3) b x0 + d y0 = − (ab + cd)2/(4r2)
Wir multiplizieren (2) und (3) jeweils mit b und d:
(4) b d y0 − d2 x0 = d δ (ab + cd)/(2r2)
(5) b2 x0 + b d y0 = − b (ab + cd)2/(4r2)
(6) b2 y0 − b d x0 = b δ (ab + cd)/(2r2)
(7) b d x0 + d2 y0 = − d (ab + cd)2/(4r2)
Durch (5) − (4) und (6) + (7) erhalten wir
(b2 + d2) x0 = − (ab + cd) (b(ab + cd) + 2δd)/(4r2)
(b2 + d2) y0 = (ab + cd) (2b δ − d(ab + cd))/(4r2)
Damit erhalten wir schließlich x0 und y0:
(8) x0 = − ab + cd4r4 (a b2 − b c d + 2a d2)
(9) y0 = ab + cd4r4 (a b d − 2b2 c − c d2)
Damit ist das System vollständig gelöst. Wir fassen unsere Formeln zusammen:
Satz (Matrix-Parabeln)
Sei A = ((a, b), (c, d)) invertierbar, und sei δ = det(A). Weiter seien:
r = ∥ (b, d) ∥ > 0
φ = arg(rot−π/2(b, d)) = arg(d, −b), sodass (b, d) = r (−sin φ, cos φ)
σ = r3/δ2 > 0
x0 = − ab + cd4r4 (a b2 − b c d + 2a d2)
y0 = ab + cd4r4 (a b d − 2b2 c − c d2)
Weiter sei v0 = (x0, y0). Dann gilt
A[ P1 ] = Pσ, φ, v0
Insbesondere ist v0 der Scheitelpunkt der Parabel A[ P1 ].
Beispiel
Sei A = ((3, 1), (2, 1)). Dann gilt δ = det(A) = 1 und
r = ∥ (b, d) ∥ = , φ = arg(d, −b) = arg(1, −1) = − π/4
σ = r3/δ2 = 2
x0 = − ab + cd4r4 (a b2 − b c d + 2a d2) = − 516 (3 − 2 + 6) = − 3516
y0 = ab + cd4r4 (a b d − 2b2 c − c d2) = 516 (3 − 4 − 2) = − 1516
Die Parabel A[ P1 ] entsteht also aus der Einheitsparabel P1 durch:
(1) | y-Skalierung um σ = 2 (sodass die Öffnung σ entsteht) |
(2) | Rotation um π/4 im Uhrzeigersinn |
(3) | Verschiebung um v0 = (x0, y0) (sodass v0 zum Scheitelpunkt wird) |
Das Urbild von v0 unter A berechnet sich zu
w0 = A−1 v0 = (−5/4, 25/16)
Die Parabel A[ P1 ] für A = ((3, 1), (2, 1)). Gezeigt ist weiter die Parabel B[ P1 ] mit B = rotφ diag(1, σ) (gestrichelt). Die Parabel A[ P1 ] entsteht aus dieser Parabel durch Translation um v0. Alle Parabeln verlaufen durch den Nullpunkt.
für A = ((−6, 2), (3, 1)) mit σ = 5 /144, φ = − arctan(2), v0 = 1/100 (−378, 351)
für A = ((1, 2), (2, 3)) mit σ = 13, φ = − arctan(2/3), v0 = − 1/169 (20, 56)