Scherungen
Wir betrachten noch die Wirkung von Scherungen entlang der x-Achse auf die Einheitsparabel. Scherungen sind für sich von Interesse, und zudem werden wir die Ergebnisse über Parabeln bei der Klassifikation der Kegelschnitte einsetzen.
Eine Scherung entlang der x-Achse wird dargestellt durch eine Matrix der Form
A = Aλ = (Scherungs-Matrix entlang der x-Achse um λ)
mit einem Scherungsfaktor λ ∈ ℝ. Der Einheitsvektor e1 = (1, 0) und allgemeiner Vektoren der x-Achse bleibt unter A unbewegt. Der Einheitsvektor e2 = (0, 1) behält bei Anwendung von A seinen y-Wert 1, wird aber entlang der x-Achse um dem Faktor λ verschoben. Analog wird α e2 entlang der x-Achse um den Wert α λ verschoben. Zur x-Achse parallele Geraden werden auf sich selbst abgebildet. Für jede Scherungsmatrix gilt
det(A) = 1 − λ 0 = 1,
sodass Scherungen den Flächeninhalt und die Orientierung erhalten. Durch Einsetzen der Matrix-Einträge a = 1, b = λ, c = 0 und d = 1 in die Formeln des obigen Satzes erhalten wir:
Satz (Matrix-Parabeln bei Scherungen)
Sei A = ((1, λ), (0, 1)). Dann gilt A[ P1 ] = Pσ, φ, v0 mit den Größen:
r = ∥ (λ, 1) ∥ =
φ = arg(1, −λ) = − arctan(λ)
σ = (1 + λ2)3/2
x0 = − λ (λ2 + 2)4(1 + λ2)2, y0 = λ24(1 + λ2)2
v0 = 14(1 + λ2)2 (− λ (λ2 + 2), λ2)
Der Scheitelpunkt ist genau dann der Nullpunkt, wenn λ = 0. Die y-Koordinate des Scheitelpunkts ist für alle λ ≠ 0 positiv. Dagegen gilt
sgn(x0) = −sgn(λ)
Die x-Werte wachsen wie −1/λ in λ, die y-Werte wie 1/λ2. Der Rotationswinkel φ konvergiert für λ → ∞ gegen −π/2 und für λ → −∞ gegen π/2.s
Beispiele
Für die Scherungs-Matrizen A1/2, A1, A2 erhalten wir mit λ = 1/2, 1, 2:
λ | σ | φ | v0 |
1/2 | 5/8 | −arctan(1/2) | 1/50 (−9, 2) |
1 | 2 | −π/4 | 1/16 (−3, 1) |
2 | 5 | −arctan(2) | 1/25 (−3, 1) |
Die Scherungsparabel mit Scheitelpunkt (gestrichelt) für A1/2 = ((1, 1/2), (0, 1))
Analog für A1 = ((1, 1), (0, 1))
Analog für A2 = ((1, 2), (0, 1))
Der Spielraum der Scheitelpunkte ist relativ klein. Eine Extremwert-Berechnung zeigt:
maximale y-Koordinate
y0 = 1/16 = 0,0625 für λ = ± 1
maximale x-Koordinate
|x0| ∼ 0,1968 für λ = ± (1/2 ( − 3))1/2 ∼ ± 0,7494
Das folgende Diagramm illustriert diese Werte.
Die Koordinatenfunktionen der Scheitelpunkte in Abhängigkeit des Scherungsfaktors λ