Lösung durch Überlagerung zweier Schwingungen
Wir geben noch eine Variante der Lösungsformel an. Sie ist algebraisch elegant, verliert aber die geometrische Interpretation des Schnitts einer Geraden mit einem Kreis. Im Zentrum steht eine nützliche Verkürzung einer trigonometrischen Linearkombination:
Satz (Überlagerung zweier Schwingungen)
(1) | Seien c, ω, φ0 ∈ ℝ mit ω ≠ 0. Weiter seien a = c cos(φ0), b = c sin(φ0) Dann gilt für alle φ ∈ ℝ: c cos(ω φ − φ0) = a cos(ω φ) + b sin(ω φ) |
(2) | Seien a, b, ω ∈ ℝ mit ω ≠ 0 und (a, b) ≠ 0. Weiter sei c = , φ0 = arg(a, b) ∈ ] −π, π ] Dann gilt für alle φ ∈ ℝ: a cos(ω φ) + b sin(ω φ) = c cos(ω φ − φ0) |
Die Übersetzung der beiden Formen ist insgesamt gegeben durch
(a, b)kartesisch = (c, φ0)polar
Der positive Wert c ist die Amplitude der Schwingung und der Winkel φ0 ihre Phasenverschiebung. Die Kreisfrequenz ω bleibt unverändert.
Beweis
Die Aussage (1) lässt sich aus dem Additionstheorem des Kosinus ablesen:
(+) c cos(ω φ − φ0) = c cos(φ0) cos(ω φ) + c sin(φ0) sin(ω φ) für alle φ ∈ ℝ
Für (2) führt (+), gegeben a, b, ω, zum Gleichungssystem
| (I) | a = c cos(φ0) |
| (II) | b = c sin(φ0) |
in den Unbekannten c und φ0. Quadrieren und Zusammenfassen liefert
a2 + b2 = c2 cos2(φ0) + c2 sin2(φ0) = c2
(cos φ0, sin φ0) = (a/c, b/c) = 1/c (a, b) für c ≠ 0
Dies motiviert die Werte für c und φ0 wie im Satz. Nach Konstruktion sind (c, φ0) Polarkoordinaten von (a, b) und damit eine Lösung von (I) und (II).
Damit sind für alle a, b, c ∈ ℝ mit (a − c, b) = (a′, b′) ≠ 0 die folgenden Gleichungen äquivalent:
| (I) | a cos2 φ + b cos φ sin φ + c sin2 φ = 0 |
| (II) | a′ cos(2φ) + b′ sin(2φ) + c′ = 0(a′, b′, c′) = (a − c, b, a + c) |
| (III) | cos(2φ − φ0) + c′ = 0 φ0 = arg(a′, b′) |
Die dritte Gleichung ist genau dann lösbar, wenn c′2 ≤ a′2 + b′2, d. h. wenn
(a + c)2 ≤ (a − c)2 + b2
Vereinfachen liefert erneut die Bedingung
D = b2 − 4 a c ≥ 0
Eine Gleichung cos(α) = x0 in α mit x0 ∈ [ −1, 1 ] hat modulo 2π die Lösungen
α1, 2 = ± arccos(x0)
Auflösen der dritten Gleichung nach φ liefert:
Satz (Lösungsformel für quadratische trigonometrische Gleichungen, II)
Seien a, b, c ∈ ℝ mit (a − c, b) ≠ 0, und sei D = b2 − 4 a c. Dann ist die Gleichung
a cos2 φ + b cos φ sin φ + c sin2 φ = 0
in der reellen Variablen φ genau dann lösbar, wenn D ≥ 0. In diesem Fall sind die Lösungen modulo π gegeben durch
φ1, 2 = 12 (± arccos(− ) + arg((a − c, b)))
Weiter gilt:
(1) | Genau im Fall D = 0 ist der Bruch des Arkuskosinus gleich ±1, sodass φ1 = φ2 = arg(a − c), b)/2 |
(2) | Genau im Fall a + c = 0 ist der Arkuskosinus gleich π/2, sodass φ1, 2 = arg(a − c, b)/2 ± π/4, |φ1 − φ2| = π/2 |