Ein Beweis mit Hilfe der spurfreien Zerlegung

Sei A  ∈  ℝ^2 × 2 symmetrisch. Wir zeigen erneut konstruktiv, dass A eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren besitzt. Hierzu zerlegen wir A = ((a, b), (b, d)) additiv in ein Vielfaches der Einheitsmatirx und eine spurfreie symmetrische Matrix:

A = r E₂ + B = $( \begin{matrix} r & 0 \\ 0 & r \end{matrix} )$ + $( \begin{matrix} s & b \\ b & - s \end{matrix} )$ , wobei r = ^a + d₂, s = ^a − d₂

Die Eigenwerte von A und B gehen durch Subtraktion bzw. Addition des Diagonalwerts r ineinander über, bei unveränderten Eigenvektoren. Denn ist v ein Eigenvektor von A zum Eigenwert λ, so gilt

Bv = (A − r E₂) v = λ v − r v = (λ − r) v,

sodass v ein Eigenvektor von B zum Eigenwert λ − r ist. Ist umgekehrt v ein Eigenvektor von B zum Eigenwert λ, so gilt

Av = (r E₂ + B) v = r v + λ v = (r + λ) v

Damit ist v ein Eigenvektor von A zum Eigenwert λ + r.

Die Matrix B ist genau dann die Nullmatrix (mit det(B) = 0), wenn A ein skalares Vielfaches von E₂ ist. Andernfalls gilt det(B) = −b² − s² < 0. Da B zwei gleichlange orthogonale Zeilen besitzt, ist B ein skalares Vielfaches einer Spiegelungsmatrix. Direkt können wir dies so einsehen: Wir setzen

λ = ∥ (s, b) ∥ = ∥ (s, −b) ∥

Ist nun ψ  ∈  ℝ mit (s, b) = λ (cos ψ, sin ψ), so gilt

$( \begin{matrix} s & b \\ b & - s \end{matrix} )$ = λ $( \begin{matrix} cos ψ & sin ψ \\ sin ψ & - cos ψ \end{matrix} )$ = λ mir_ψ.

Die spurfreie Zerlegung einer symmetrischen Matrix A ist damit eine Darstellung der Form

A = r E₂ + λ mir_ψ

Einer Skalierung des Einheitskreises wird eine skalierte Spiegelung hinzugefügt. Die additive Form ist ansonsten geometrisch nicht besonders anschaulich.

Die Spiegelung mir_ψ erfolgt an der Geraden mit dem Winkel ψ/2 zur x-Achse. Sie besitzt die Eigenwerte 1 und −1 und zugehörige Eigenvektoren, die parallel bzw. senkrecht zur Spiegelungsgeraden stehen. Die Eigenwerte von B sind entsprechend λ und −λ, sodass die Matrix A nach obigen Überlegungen die Eigenwerte r ± λ besitzt. Damit erhalten wir:

Satz (Spektralsatz)

Sei A = ((a, b), (b, d))  ∈  ℝ^2 × 2 symmetrisch und kein skalares Vielfaches von E₂ (d.h. b ≠ 0 oder a ≠ d). Wir setzen:

r = ^a + d₂, s = ^a − d₂

λ = ∥ (s, b) ∥, φ = arg(s, b)/2  ∈  ] −π/2, π/2 ]

Dann gilt A = r E₂ + λ mir_2φ. Weiter sind

λ₁ = r + λ,	v = (cos φ, sin φ)
λ₂ = r − λ,	w = rot_π/2(v) = (−sin φ, cos φ)

Eigenwerte und zugehörige orthogonale und normierte Eigenvektoren von A. Es gilt λ₁ > λ₂ und (v, w) ist positiv orientiert.

Formeln für die Eigenwerte

Ausrechnen liefert die Formeln

λ_1,2 = r ± λ = ¹₂(a + d ± $\sqrt{(a - d)^{2} + {4 b}^{2}}$ )

λ₁ + λ₂ = a + d = spur(A)

λ₁ λ₂ = a d − b² = det(A)

Sie erinnern an die Lösungsformel für quadratische Gleichungen und die Formeln von Vieta. Wir werden den Zusammenhang später aufklären.

Zur Voraussetzung des Satzes

Ein skalares Vielfaches der Einheitsmatrix E₂ hat offensichtlich eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren mit Eigenwerten λ₁ = λ₂. Je zwei orthonormale Vektoren wie e₁ und e₂ sind geeignet. Die Voraussetzung des Satzes ist äquivalent zu B ≠ 0 und weiter zu λ > 0.