Orthogonale Diagonalisierung

Ist A symmetrisch und sind λ₁, λ₂ die Eigenwerte von A zu orthonormalen Eigenvektoren v₁, v₂, so gilt

(v₁, v₂) A (v₁; v₂)	= (v₁, v₂) (A v₁; A v₂) = (v₁, v₂) (λ₁ v₁; λ₂ v₂)
	= $( \begin{matrix} λ_{1} 〈 v_{1}, v_{2} 〉 & λ_{2} 〈 v_{1}, v_{2} 〉 \\ λ_{1} 〈 v_{2}, v_{1} 〉 & λ_{2} 〈 v_{2}, v_{2} 〉 \end{matrix} )$ = diag(λ₁, λ₂)

Die Matrix A wird also durch die orthogonalen Matrizen

S = (v₁; v₂), S⁻¹ = S^t = (v₁, v₂)

diagonalisiert:

(+) S^t A S = D, A = S D S^t mit D = diag(λ₁, λ₂), S orthogonal

Gilt umgekehrt (+), so ist A symmetrisch und die Spalten v₁, v₂ von S sind orthonormale Eigenvektoren von A zu den Eigenwerten λ_1,2. Denn es gilt:

A^t = (S D S^t)^t = (S^t)^t D^t S^t = S D S^t = A

A v₁ = A S e₁ = S D e₁ = λ₁ S e₁ = λ₁ v₁, und analog A v₂ = λ₂ v₂

Den Spektralsatz können wir damit prägnant so formulieren:

Genau die symmetrischen Matrizen lassen sich orthogonal diagonalisieren.

Eine diagonalisierbare Matrix A lässt sich nach Definition schreiben in der Form A = P D P⁻¹ mit P invertierbar und D diagonal. Die Spalten von P sind Eigenvektoren von A und die Diagonaleinträge sind zugehörige Eigenwerte. Der Idealfall „P orthogonal“ wird genau für die symmetrischen Matrizen erreicht.