Vom Spektralsatz zu den Matrix-Ellipsen
Für jede Matrix A ist A At symmetrisch, da (AAt)t = (At)tAt = AAt. Wir geben die Produkte für A = ((a, b), (c, d)) noch einmal an:
A At = =
At A = =
In den Diagonalen stehen die Längenquadrate der Zeilenvektoren (Spaltenvektoren) von A. In den Nebendiagonalen stehen die Skalarprodukte der Zeilenvektoren (Spaltenvektoren) von A. Die Matrix A At (At A) ist genau dann diagonal, wenn A orthogonale Zeilen (Spalten) besitzt.
Normale Matrizen
Die beiden Produkte A At und At A sind im Allgemeinen verschieden, d. h. A kommutiert im Allgemeinen nicht mit At. Es gilt
A At − At A =
Diese Matrix ist genau dann die Nullmatrix, wenn
(+) b = c oder b = − c und a = d
Die erste Bedingung trifft genau für die symmetrischen Matrizen zu. In diesem Fall ist A At = A2 = At A. Die zweite Bedingung beschreibt Matrizen der Form
A = , A At = At A = = (a2 + b2) E2
Im Fall b ≠ 0 hat A keine reellen Eigenwerte. Denn A (x, y) = λ (x, y) ist äquivalent zu (A − λ E2) (x, y) = 0; dieses Gleichungssystem hat für alle λ wegen det(A − λ E2) = (a − λ)2 + b2 > 0 nur die triviale Lösung (x, y) = 0.
Im Fall b = 0 ist A ein Vielfaches von E2 und damit symmetrisch.
Eine Matrix A mit A At = At A heißt normal. Die komplexe Version dieses Begriffs wird bei der Diskussion des Spektralsatzes für komplexe Matrizen eine wichtige Rolle spielen.
Mit den Ellipsen-Größen
r = (a2 + b2 + c2 + d2)/2, q = (q1, q2) = (a2 + b2 − c2 − d2)/2, ac + bd)
erhalten wir die spurfreie Zerlegung
A At = = r E2 + = r E2 + λ mirφ,
wobei λ = ∥ q ∥ und φ = arg(q) ∈ ] −π, π ]. Die Eigenwerte von A berechnen sich nach obigen Überlegungen also zu
λ1, 2 = r ± λ
Zudem gilt λ1, 2 ≥ 0: Für alle v ≠ 0 gilt
〈 v, (AAt) v 〉 = 〈 At v, At v 〉 ≥ 0,
d. h. AAt ist positiv semidefinit. Damit sind alle Eigenwerte größergleich null. Denn ist v ein normierter Eigenvektor von AAt zum Eigenwert λ, so gilt
λ = λ 〈 v, v 〉 = 〈 v, λ v 〉 = 〈 v, (AAt) v 〉 ≥ 0
Ist A invertierbar, so sind alle Eigenwerte von A At positiv.
Durch Anwendung des Spektralsatzes auf die symmetrische Matrix AAt erhalten wir einen weiteren Beweis des Satzes über Matrix-Ellipsen. Die Ellipse E = A[ K ] können wir hier unmittelbar als Drehung (oder wahlweise Spiegelung) einer achsenparallelen Ellipse erkennen und sie durch die Eigenvektoren von AAt charakterisieren:
Satz (Satz über Matrix-Ellipsen aus Spektralsatz)
Sei A invertierbar, und sei A At = SDSt mit S orthogonal, D = diag(λ1, λ2), λ1 ≥ λ2 > 0. Weiter sei E = A[ K ]. Dann gilt:
E = S [ Eσ1, σ2 ], wobei
Eσ1, σ2 = { (x, y) ∈ ℝ2 | (x/σ1)2 + (y/σ2)2 = 1 }
die achsenparallele Ellipse mit den Halbachsen σ1 = und σ2 = ist.
Die Spalten von S sind Halbachsenrichtungen von E. Die Halbachsenvektoren von E sind gegeben durch
σ1Se1 = SD1/2e1 und σ2 Se2 = SD1/2e2, mit
D1/2 = diag(, ) = diag(σ1, σ2)
In den Spalten von S stehen orthonormale Eigenvektoren der Matrix AAt. Diese Eigenvektoren sind Halbachsenrichtungen der Ellipse E = A[ K ]. Skalieren wir sie um die Wurzeln der zugehörigen Eigenwerte, so erhalten wir Halbachsenvektoren von E. Die Matrix S können wir als Rotation oder Spiegelung wählen. Der Übergang von S = (v1; v2) zu (−v1; v2) ändert den Typ.
Beweis
Wir hatten bereits gesehen, dass die Eigenwerte von AAt positiv sind. Für alle v ∈ ℝ2 gilt die Äquivalenzenkette:
v ∈ E | genau dann, wenn | ∥ A−1 v ∥2 = 1 |
genau dann, wenn | 〈 A−1 v, A−1 v 〉 = 1 | |
genau dann, wenn | 〈 v, (A−1)t A−1 v 〉 = 1 | |
genau dann, wenn | 〈 v, (A At)−1 v 〉 = 1 | |
genau dann, wenn | 〈 v, S D−1St v 〉 = 1 | |
genau dann, wenn | 〈 Stv, D−1St v 〉 = 1 |
Mit D−1 = ((1/σ12, 0), (0, 1/σ22)) und St = S−1 erhalten wir
E | = { v | 〈 S−1v, D−1S−1v 〉 = 1 } = { Sw | 〈 w, D−1w 〉 = 1 } |
= { S(x, y) | (x/σ1)2 + (y/σ2)2 = 1 } = S [ Eσ1, σ2 ] |
Der Zusatz ist klar.