Vom Spektralsatz zu den Matrix-Ellipsen

 Für jede Matrix A ist A At symmetrisch, da (AAt)t = (At)tAt = AAt. Wir geben die Produkte für A = ((a, b), (c, d)) noch einmal an:

A At  =  abcd acbd =  a2+b2ac+bdac+bdc2+d2

At A  =  acbd abcd =  a2+c2ab+cdab+cdb2+d2

In den Diagonalen stehen die Längenquadrate der Zeilenvektoren (Spaltenvektoren) von A. In den Nebendiagonalen stehen die Skalarprodukte der Zeilenvektoren (Spaltenvektoren) von A. Die Matrix A At (At A) ist genau dann diagonal, wenn A orthogonale Zeilen (Spalten) besitzt.

Normale Matrizen

Die beiden Produkte A At und At A sind im Allgemeinen verschieden, d. h. A kommutiert im Allgemeinen nicht mit At. Es gilt

A At  −  At A  =  b2c2(ad)(cb)(ad)(cb)c2b2

Diese Matrix ist genau dann die Nullmatrix, wenn

(+)  b  =  c  oder  b = − c  und  a = d

Die erste Bedingung trifft genau für die symmetrischen Matrizen zu. In diesem Fall ist A At = A2 = At A. Die zweite Bedingung beschreibt Matrizen der Form

A  =  abba,  A At  =  At A  =  a2+b200a2+b2  =  (a2 + b2) E2

Im Fall b ≠ 0 hat A keine reellen Eigenwerte. Denn A (x, y) = λ (x, y) ist äquivalent zu (A − λ E2) (x, y) = 0; dieses Gleichungssystem hat für alle λ wegen det(A − λ E2) = (a − λ)2 + b2 > 0 nur die triviale Lösung (x, y) = 0.

Im Fall b = 0 ist A ein Vielfaches von E2 und damit symmetrisch.

Eine Matrix A mit A At = At A heißt normal. Die komplexe Version dieses Begriffs wird bei der Diskussion des Spektralsatzes für komplexe Matrizen eine wichtige Rolle spielen.

 Mit den Ellipsen-Größen

r  =  (a2 + b2 + c2 + d2)/2,  q  =  (q1, q2)  =  (a2 + b2 − c2 − d2)/2, ac + bd)

erhalten wir die spurfreie Zerlegung

A At  =  r+q1q2q2rq1 =  r E2  +  q1q2q2q1 =  r E2  +  λ mirφ,

wobei λ = ∥ q ∥ und φ = arg(q)  ∈  ] −π, π ]. Die Eigenwerte von A berechnen sich nach obigen Überlegungen also zu

λ1, 2  =  r  ±  λ

Zudem gilt λ1, 2 ≥ 0: Für alle v ≠ 0 gilt

〈 v, (AAt) v 〉  =  〈 At v, At v 〉  ≥  0,

d. h. AAt ist positiv semidefinit. Damit sind alle Eigenwerte größergleich null. Denn ist v ein normierter Eigenvektor von AAt zum Eigenwert λ, so gilt

λ  =  λ 〈 v, v 〉  =  〈 v, λ v 〉  =  〈 v, (AAt) v 〉  ≥  0

Ist A invertierbar, so sind alle Eigenwerte von A At positiv.

 Durch Anwendung des Spektralsatzes auf die symmetrische Matrix AAt erhalten wir einen weiteren Beweis des Satzes über Matrix-Ellipsen. Die Ellipse E = A[ K ] können wir hier unmittelbar als Drehung (oder wahlweise Spiegelung) einer achsenparallelen Ellipse erkennen und sie durch die Eigenvektoren von AAt charakterisieren:

Satz (Satz über Matrix-Ellipsen aus Spektralsatz)

Sei A invertierbar, und sei A At = SDSt mit S orthogonal, D = diag1, λ2), λ1 ≥ λ2 > 0. Weiter sei E = A[ K ]. Dann gilt:

E  =  S [ Eσ1, σ2 ],  wobei

Eσ1, σ2  =  { (x, y)  ∈  2 | (x/σ1)2 + (y/σ2)2  =  1 }

die achsenparallele Ellipse mit den Halbachsen σ1 = λ1 und σ2 = λ2 ist.

Die Spalten von S sind Halbachsenrichtungen von E. Die Halbachsenvektoren von E sind gegeben durch

σ1Se1  =  SD1/2e1  und  σ2 Se2  =  SD1/2e2,  mit

D1/2  =  diag(λ1, λ2)  =  diag1, σ2)

 In den Spalten von S stehen orthonormale Eigenvektoren der Matrix AAt. Diese Eigenvektoren sind Halbachsenrichtungen der Ellipse E = A[ K ]. Skalieren wir sie um die Wurzeln der zugehörigen Eigenwerte, so erhalten wir Halbachsenvektoren von E. Die Matrix S können wir als Rotation oder Spiegelung wählen. Der Übergang von S = (v1; v2) zu (−v1; v2) ändert den Typ.

Beweis

Wir hatten bereits gesehen, dass die Eigenwerte von AAt positiv sind. Für alle v  ∈  2 gilt die Äquivalenzenkette:

v  ∈  E genau dann, wenn ∥ A−1 v ∥2  =  1
genau dann, wenn 〈 A−1 v, A−1 v 〉  =  1
genau dann, wenn 〈 v, (A−1)t A−1 v 〉  =  1
genau dann, wenn 〈 v, (A At)−1 v 〉  =  1
genau dann, wenn 〈 v, S D−1St v 〉  =  1
genau dann, wenn 〈 Stv, D−1St v 〉  =  1

Mit D−1 = ((1/σ12, 0), (0, 1/σ22)) und St = S−1 erhalten wir

E =  { v | 〈 S−1v, D−1S−1v 〉  =  1 }  =  { Sw | 〈 w, D−1w 〉  =  1 }
=  { S(x, y) | (x/σ1)2 + (y/σ2)2  =  1 }  =  S [ Eσ1, σ2 ]

Der Zusatz ist klar.