Vom Spektralsatz zur Singulärwertzerlegung

Aus der Zerlegung AA^t = SDS^t der symmetrischen Matrix A A^t lässt sich eine Singulärwertzerlegung von A gewinnen:

Satz (Singulärwertzerlegung)

Sei A invertierbar, und sei A A^t = SDS^t mit S orthogonal und D diagonal. Weiter sei

T = D^−1/2 S^t A (mit D^−1/2 = (D^1/2)⁻¹)

Dann ist T orthogonal und A = S D^1/2T.

Beweis

Die Matrix D = diag(λ₁, λ₂) hat positive Diagonaleinträge (die Eigenwerte von AA^t), sodass

D^1/2 = diag( $\sqrt{λ_{1}}$ , $\sqrt{λ_{2}}$ )

definiert ist. Die Matrix T ist orthogonal:

T T^t	= D^−1/2 S^t A A^t S D^−1/2
	= D^−1/2 D D^−1/2 = E₂

Auflösen nach A in der Definition von T liefert A = S D^1/2 T.

Die Zerlegung A = S D^1/2 T des Satzes ist eine Singulärwertzerlegung von A. Die Matrix A wird in drei Teile wie im Spektralsatz zerlegt, wobei nun die Matrizen S und T orthogonal, aber im Allgemeinen nicht mehr invers zueinander sind. Mehr können wir nicht erreichen, wenn wir die Matrix A nicht als symmetrisch voraussetzen.

Die Typen von S und T (Drehung oder Spiegelung) können wir nicht unabhängig voneinander einstellen, da

sgn(det(A)) = sgn(det(S)) sgn(det(T))

Wir können jedoch S durch Vorzeichenänderung und Tausch in den Spalten als Drehung um φ  ∈  ]−π/2, π/2 ] einstellen und σ₁ ≥ σ₂ erreichen. Dadurch erhalten wir je nach Vorzeichen von det(A) die Standardzerlegung

A = rot_φ diag(σ₁, σ₂) rot_ψ bzw. A = rot_φ diag(σ₁, σ₂) mir_ψ

Gewinnung der Matrix T

Die Matrix T lässt sich wie folgt motivieren und rekonstruieren: Soll

A = S D′ T

mit D′ diagonal und T orthogonal gelten, so ist

T = D′⁻¹ S^t A und

S D S^t = A A^t = S D′ T T^t D′ S^t = S D′ D′ S^t

Folglich gilt D′ = D^1/2 und damit

T = D^−1/2 S^t A

Damit haben wir für T keine andere Wahl, wenn wir die linke Seite S der Zerlegung A A^t = S D S^t in die Singulärwertzerlegung von A übernehmen wollen. Die Matrix T lässt sich aber auch anders darstellen:

Alternative Form der Matrix T

Es gilt

T = D^1/2 S^t A^−t

Denn mit A^−t A⁻¹ = (A A^t)⁻¹ = (S D S^t)⁻¹ = S D⁻¹ S^t erhalten wir

T	= D^−1/2 S^t A
	= D^1/2 D⁻¹ S^t A
	= D^1/2 S^t S D⁻¹ S^t A
	= D^1/2 S^t A^−t A⁻¹ A
	= D^1/2 S^t A^−t