Berechnung der Ableitung
Unsere Abbildungen legen es nahe, die Ableitung von hA zu berechnen, um den Verlauf von hA besser zu verstehen. Sei also A = ((a, b), (c, d)) ∈ ℝ2 × 2 invertierbar. Für alle φ ∈ ]− π, π ] gilt mit (x, y) = v(φ) = (cos φ, sin φ):
hA(φ) = 〈 v(φ), A v(φ) 〉∥ A v(φ) ∥ = a x2 + (b + c) x y + d y2(a2 + c2) x2 + (b2 + d2) y2 + 2(ab + cd) xy
Zur Berechnung der Ableitung von hA brauchen wir die Normableitung
∥ v ∥′ = 〈 v, v′ 〉∥ v ∥, ∥ A v ∥′ = 〈 A v, A v′ 〉∥ A v ∥
Dabei fassen wir v als Funktion v : ] −π, π ] → ℝ2 mit Werten v(φ) = (cos φ, sin φ)) auf. Weiter verwenden wir:
det(v, A v) = 〈 v′, A v 〉 mit v′(φ) = rotπ/2 v(φ) = (− sin φ, cos φ)
Stark vereinfacht wird die Berechnung der Ableitung zudem durch:
Satz (Vierfaktorensatz)
Seien v1, v2, w1, w2 ∈ ℝ2. Dann gilt
〈 v1, w1 〉 〈 v2, w2 〉 − 〈 v1, w2 〉 〈 v2, w1 〉 = det(v1, v2) det(w1, w2)
Beweis
Die linke Seite der Identität ist die Determinante des Matrizenprodukts
(v1, v2) (w1; w2) (mit v1, v2 in den Zeilen und w1, w2 in den Spalten)
Daher folgt die Behauptung aus dem Determinantenmultiplikationssatz und det((w1; w2)) = det(w1, w2).
Für eine Matrix erhalten wir:
Korollar (Vierfaktorensatz, Spezialfall)
Seien A ∈ ℝ2 × 2 und v, w ∈ ℝ2. Dann gilt
〈 v, A v 〉 〈 A v, A w 〉 − 〈 v, A w 〉 〈 A v, A v 〉 = det(v, A v) det(A) det(v, w)
Beweis
Es gilt det(A) det(v, w) = det(A (v; w)) = det(A v, A w). Die Behauptung folgt daher durch Anwendung des Satzes auf v1 = v, v2 = w1 = A v, w2 = A w.
Nach diesen technischen Vorbereitungen können wir nun vergleichsweise einfach zeigen:
Satz (Ableitung der hA-Funktion)
Sei A = ((a, b), (c, d)) invertierbar. Dann gilt:
hA′ = 1∥ A v ∥3 det(v, A v) (〈 A v, A v 〉 − det(A)) (mit v(φ) = (cos φ, sin φ))
Weiter gilt:
(1) | det(v(φ), A v(φ)) = 0 genau dann, wenn v(φ) ist ein Eigenvektor von A |
(2) | Ist det(A) < 0, so hat hA keine weiteren Nullstellen. |
(3) | Ist det(A) > 0 und A[ K ] ein Kreis, so ist h′ = 0. |
(4) | Ist det(A) > 0 und E = A[ K ] kein Kreis, so gibt es im Intervall ] −π, π ] genau vier Stellen φ mit 〈 A v, A v 〉 − det(A) = 0. Ein φ ist genau dann eine derartige Nullstelle von hA, wenn ∥ A v(φ) ∥ das geometrische Mittel der Halbachsen σ1, σ2 von E ist. |
Beweis
Mit hA = 〈 v, A v 〉 ∥ A v ∥−1 gilt nach den Ableitungsregeln:
| hA′ | = ∥ A v ∥−2 (∥ A v ∥ (〈 v′, A v 〉 + 〈 v, A v′ 〉) − 〈 v, A v 〉 〈 A v, Av′ 〉 ∥ A v ∥−1) |
| = ∥ A v ∥−3 (〈 A v, A v 〉 (〈 v′, A v 〉 + 〈 v, A v′ 〉) − 〈 v, A v 〉 〈 A v, A v′ 〉) | |
| = ∥ A v ∥−3 (〈 v′, A v 〉 〈 A v, A v 〉 + 〈 v, A v′ 〉 〈 A v, A v 〉 − 〈 v, A v 〉 〈 A v, A v′ 〉) | |
| = ∥ A v ∥−3 (det(v, A v) 〈 A v, A v 〉 − det(v, A v) det(A)) | |
| = ∥ A v ∥−3 det(v, A v) (〈 A v, A v 〉 − det(A)) |
Im vorletzten Schritt haben wir den Spezialfall des Korollars (mit w = v′) und det(v, v′) = 1 verwendet.
zum Zusatz: Die Nullstellen von det(v, A v) entsprechen nach obigen Ergebnissen genau den Eigenvektoren von A.
Ist det(A) < 0, so ist 〈 A v, A v 〉 − det(A) > 0, sodass außer den Stellen φ mit det(v(φ), A v(φ)) = 0 keine weiteren Nullstellen existieren.
Sei also det(A) > 0. Ist A[ K ] ein Kreis mit Radius r, so A = r S mit einer Rotationsmatrix S, sodass 〈 A v, A v 〉 = r2 = det(A). Folglich ist hA′ = 0. Ist A[ K ] eine Ellipse mit den Halbachsen σ1 > σ2, so ist der Wertebereich von ∥ A v ∥ das Intervall [ σ2, σ1 ] und die Werte σ1 und σ2 werden im Intervall ] −π, π ] jeweils genau zweimal angenommen. Folglich gibt es in diesem Intervall genau vier Stellen φ mit
∥ A v(φ) ∥ = =
Beispiele
(1) | Die obigen Abbildungen zeigen, dass hA im Intervall ] −π, π ] im Fall einer echten Ellipse und einer positiven Determinante vier oder acht Extremwerte besitzen kann: Vier Stellen des Typs 1 (Eigenvektoren) und vier Stellen des Typs 2 (〈 A v, A v 〉 = det(A) = σ1 σ2). |
(2) | Die Typen können sich überschneiden, wie es etwa bei der Scherung A = ((1, 1), (0, 1)) der Fall ist. Hier gilt: det(v(φ), A v(φ)) = − sin2(φ) 〈 A v, A v 〉 − det(A) = sin(φ) (2 cos φ + sin φ) Im Intervall ] −π, π ] sind 0 und π jeweils Nullstellen des Typs 1 und 2. Weiter sind φ1 = 2 arctan((1 − )/2) ∼ − 1,107 φ2 = 2 arctan((1 + )/2) ∼ 2,034 Nullstellen des Typs 2. Es gilt φ2 = φ1 + π. Die Funktion hA für die Scherung A = ((1, 1), (1, 0)) und ihre Ableitung hA′. Die Ableitung hat vier Nullstellen im Intervall ] −π, π ]. |
(3) | Für die Spiegelung A = ((1, 0), (0, −1)) ist A[ K ] ein Kreis. Es gilt det(A) = −1 < 0, sodass keine Nullstellen von hA′ des Typs 2 existieren. Die Funktion hA und ihre Ableitung berechnen sich zu hA(φ) = cos(2φ), hA′(φ) = − 2 sin(2φ) Die Nullstellen 0, π/2, π, 3π/4 von hA′ im Intervall ] −π, π ] entsprechen den Eigenvektoren (1, 0) und (0, 1) von A. |
Wir versammeln noch einige Rechenregeln, die sich leicht nachweisen lassen.
Satz (Rechenregeln)
Seien A = ((a, b), (c, d)) ∈ ℝ2 × 2, φ ∈ ] −π, π ], v = (x, y) = (cos φ, sin φ) und v′ = (−y, x) = (− sin φ, cos φ). Dann gilt:
(a) | 〈 v′, A v 〉 = det(v, A v) = 〈 v, AL v 〉 |
(b) | 〈 v, A v′ 〉 = − det(v′, A v′) = − 〈 v′, ALv′ 〉 = 〈 v, AtL v 〉 = det(v, At v) |
(c) | AL − AtL = diag(c − b) |
(d) | 〈 v′, A v 〉 − 〈 v, A v′ 〉 = c − b |
(e) | 〈 A v, A v 〉 = 〈 v′, A v 〉2 + 〈 v, A v 〉2 |
(f) | 〈 A v, A v 〉 + 〈 A v′, A v′ 〉 = a2 + b2 + c2 + d2 |
(g) | 〈 v, A v 〉 + det(A) 〈 v, A−1 v 〉 = a + d |
(h) | 〈 v, A v′ 〉 = − det(A) 〈 v, A−1 v′ 〉 |
Mit Hilfe der Größen für Matrix-Ellipsen (hier für At) erhalten wir:
Satz (Rechenregeln, II)
Seien A, φ, v, v′ wie oben seien
p = qAt = ((a2 − b2 + c2 − d2)/2, ab + cd)
r = (a2 + b2 + c2 + d2)/2
Dann gilt:
(a) | 〈 A v, A v 〉 = r + 〈 p, v(2φ) 〉 |
(b) | 〈 A v, A v′ 〉 = 〈 p, v′(2φ) 〉 = − det(p, v(2φ)) |
(c) | 〈 v′, A v′ 〉 = r − 〈 p, v(2φ) 〉 |