Die quadratische Form einer Matrix
In unseren Überlegungen zur von einer Matrix A bewirkten Richtungsänderung haben wir die Diagonale der Bilinearform von A verwendet:
Definition (quadratische Form einer Matrix, Formwerte)
Sei A ∈ ℝ2 × 2. Dann heißt die Funktion fA : ℝ2 → ℝ mit
fA(v) = 〈 v, A v 〉 für alle v ∈ ℝ2
die quadratische Form von A. Für alle v ∈ ℝ2 heißt 〈 v, Av 〉 der Formwert von v bzgl. A.
Zusammenhang zur h-Funktion
Ist A invertierbar, so gilt
hA(φ) = fA(v(φ))∥ A v(φ) ∥ für alle φ ∈ ] −π, π ],
wobei wieder v(φ) = (cos φ, sin φ).
Zusammenhang zur Lagrange-Matrix
Für jede Matrix A und jeden Vektor v gilt
det(v, A v) = 〈 v, AL v 〉
Die Determinante det(v, A v) ist also die quadratische Form von AL.
Ist A = ((a, b), (c, d)), so gilt für alle v = (x, y) ∈ ℝ2:
fA(v) = 〈 v, Av 〉 = a x2 + (b + c) x y + d y2
Dies motiviert die Bezeichnung als quadratische Form. In den gemischten Term geht die Summe b + c der Nebendiagonalelemente von A ein. Wir haben Zugriff auf a (durch Einsetzen von (1, 0) für (x, y) und d (durch Einsetzen von (0, 1)), aber keinen Zugriff auf b oder c. Genauer gilt:
Satz (übereinstimmende Formen)
Seien A = ((a, b), (c, d)), B = ((a′, b′), (c′, d′)) ∈ ℝ2 × 2 und seien fA, fB die zugehörigen quadratischen Formen. Dann sind äquivalent:
(a) | fA = fB |
(b) | a = a′, d = d′, b + c = b′ + c′ |
Für symmetrische Matrizen A und B ist also fA = fB äquivalent zu A = B.
Beweis
(a) impliziert (b): Sei fA = fB, sodass 〈 v, A v 〉 = 〈 v, B v 〉 für alle v. Dann gilt
a = 〈 e1, A e1 〉 = 〈 e1, B e1 〉 = a′
d = 〈 e2, A e2 〉 = 〈 e2, B e2 〉 = d′
a + b + c + d = 〈 (1, 1), A (1, 1) 〉 = 〈 (1, 1), B (1, 1) 〉 = a′ + b′ + c′ + d′
Hieraus folgt (b).
(b) impliziert (a): Es gelte (b). Dann gilt für alle v:
| fA(v) | = 〈 v, Av 〉 = a x2 + (b + c) x y + d y2 |
| = a′ x2 + (b′ + c′) x y + d′ y2 = 〈 v, B v 〉 = fB(v) |
Der Zusatz ist klar.
Die quadratischen Formen zweier Matrizen A und B sind also genau dann gleich, wenn A und B dieselbe Diagonale haben und die „Gegenspur“ übereinstimmt. Eine symmetrische Matrix A ist durch ihre Form fA eindeutig festgelegt. Ist umgekehrt eine quadratische Form f : ℝ2 → ℝ mit
f(x, y) = a x2 + b x y + c y2 für alle (x, y) ∈ ℝ2
gegeben, so ist
A =
die eindeutige symmetrische Matrix A mit fA = f.
Für eine symmetrische Matrix gilt weiter:
Satz (Polarisation)
Sei A ∈ ℝ2 × 2 symmetrisch, und seien v, w ∈ ℝ2. Dann gilt:
2 〈 v, Aw 〉 = fA(v + w) − fA(v) − fA(w)
Insbesondere ist eine symmetrische Bilinearform durch ihre Formwerte bestimmt.
Beweis
Die Aussage ist äquivalent zur binomischen Formel
〈 v + w, A (v + w) 〉 = 〈 v, Av 〉 + 2 〈 v, Aw 〉 + 〈 w, Aw 〉
Für eine symmetrische und positiv definite Matrix A zeigt die Polarisation, dass sich das von A definierte Skalarprodukt aus der zugehörigen Norm rekonstruieren lässt. Denn für alle v, w ∈ ℝ2 gilt:
〈 v, w 〉A = 〈 v, Aw 〉 = 12 ( ∥ v + w ∥2A − ∥ v ∥2A − ∥ w ∥2A )