Das charakteristische Polynom
Den Existenzsatz können wir auch erhalten, indem wir zuerst die Eigenwerte und dann die Eigenvektoren berechnen. Wir verwenden hierzu:
Eigenwert-Äquivalenzen
Für jede Matrix A = ((a, b), (c, d)) ∈ ℝ2 × 2 sind äquivalent:
(1) | λ ist ein Eigenwert von A |
(2) | Es gibt ein v ≠ 0 mit A v − λ v = 0 |
(3) | (A − λ E2) v = 0 hat eine von 0 verschiedene Lösung v |
(4) | A − λ E2 ist singulär |
(5) | det(A − λ E2) = 0 |
Wegen det(A − λE2) = (a − λ) (d − λ) − bc sind die reellen Eigenwerte von A also die reellen Lösungen der Gleichung
λ2 − (a + d) λ + a d − b c = 0
in der Unbestimmten λ. Wir können die Gleichung in der Form
λ2 − spur(A) λ + det(A) = 0
bestechend schön notieren. Aus der Lösungsformel für quadratische Gleichungen und den Formeln von Vieta ergibt sich erneut:
Satz (Existenz von Eigenpaaren, II)
Sei A = ((a, b), (c, d)) ∈ ℝ2 × 2, und sei
D = spur(A)2 − 4 det(A) = (a + d)2 − 4(ad − bc) = (a − d)2 + 4bc
Dann besitzt A genau dann reelle Eigenwerte, wenn D ≥ 0. In diesem Fall sind
λ1,2 =
die Eigenwerte von A. Es gilt
λ1 + λ2 = spur(A), λ1λ2 = det(A)
Im Fall D = 0 gilt λ1 = λ2 = spur(A/2). Im Fall D > 0 gilt λ1 ≠ λ2.
Für die zugehörigen Eigenvektoren gelten die gleichen Formeln wie in der Version I des Satzes.
Beweis
Es bleibt, die Behauptung über die Eigenvektoren zu zeigen. Die Eigenvektoren von A sind die nichttrivialen Lösungen des Gleichungssystems
(A − λ1, 2 E2) v = 0
Mit v = (x, y) lautet dieses Gleichungssystem wie folgt:
(a − λ1,2) x + b y = 0
(d − λ1,2) y + c x = 0
Nach Konstruktion ist eine der Gleichungen ein skalares Vielfaches der anderen, sodass es genügt, eine von Null verschiedene Gleichung zu lösen. Im Fall b ≠ 0 hat die erste Gleichung die Lösung (1, y1,2) mit
y1, 2 = λ1,2 − ab = =
Im Fall c ≠ 0 hat die zweite Gleichung die Lösung (x1, 2, 1) mit
x1, 2 = λ1,2 − dc =
Im Fall b = c = 0 erhalten wir die zu λ1 = max(a, d), λ2 = min(a, d) passenden Lösungen (1, 0) und (0, 1) in geeigneter Zuordnung.